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第七章 空间解析几何与向量代 数习题课 (二) 平面与直线、空间曲面与曲线 一、平面与直线的方程 1平面方程 : （1）点法式方程： 其中 为平面的法向量， 为平面的 一定点。 （2）一般方程： （3）截距式方程： ，其中 分别为平面在 三坐标轴 上的截距。 2点到平面的距离： 3直线方程： （1）一般方程： （2）对称式方程： 其中 为直线的方向向量， 为直线的一定点。 （3）参数方程： 则它们的夹角为： （2）两平面相交（夹角） 设 与 平面的法向量分别为 与 4线、面之间的位置关系： （1）两直线相交（夹角） 设 与 的方向向量分别为 与 （3）直线与平面相交（夹角） 设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 则它们的交角： 则 （4）线、面之间的平行与垂直 设直线 与 的方向向量分别为 ， 平面 与 的法向量分别为 二、空间曲面 1一般方程： 2旋转面：曲线 同理可得 面上的曲线绕 轴旋转所得旋转面的方程及 绕 轴旋转所得旋转面的方程。 绕 轴旋转所得旋转曲面 方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 三、空间曲线 1一般方程 2参数方程 3空间曲线在坐标面上的投影曲线： （1） 在 面上的投影曲线： （2） 在 面上的投影曲线： （3） 在 面上的投影曲线： 四、典型例题 【例1】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。 分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知 知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量； （2）由平面平行于 轴的特殊条件，可采用平面的一般式， 设出不含 的平面方程，再由已知两点确定平面方程的 待定系数。 解法1: 由已知点 ，确定向量 , 轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量 平面过点 ，则所求平面的点法式方程为 即 解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量 ,于是 可设平面方程为 点 在平面上，满足平面方程，即有 ，得 则平面方程为 即 【例2】求经过两点 且与平面 垂直的平面方程。 分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确 定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。 ，平面 过向量 ，所以， 。 已知平面 的法向量为 ， 因为 ，所以 ，可取 则所求平面的点法式方程为 即 解：设所求平面 的法向量为 ，已知平面 过点 【例3】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。 分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知 的点确定三个相等的截距。 解：设所求平面的截距式方程为 ， 将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有 所求平面的截距式方程为 。 或写为一般式方程 。 解得 【例4】求与平面 平行，且与之距离 为 3 的平面。 分析： 所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出 平面方程的一般式，再由条件定系数。 解： 所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可 设所求平面的方程为 已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为3，即 可解得 或 代入所设平面方程得所求平面的方程为 或 【例5】 求过点 且与平面 和 平行 的直线方程。 分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的 方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直， 可用向量积求出直线的方向向量。 可取 直线过点 ，则所求直线方程为 解：设所求直线的方向向量为 ，两已知平面 的法向量为 ， 的法向量为 ， 则 ， 。 解： 已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足 平面方程； 解之得 。 【例6】已知直线 在平面 ， 求 的值。 分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线 的方向向量与平面的法向量垂直。 与平面 的法向量 应相互垂直，即 。则有 关系式 其次，直线的方向向量 求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。 【例7】求过点 且通过直线 的平面方程。 分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所 解：直线上的点 及已知点 在所求平面上， 两点构成向量 ，直线方向向量 ； 所求平面方程为 即 所求平面的法向量 ， ，于是可取 【例8】已知两直线 求过 且平行于 的平面。 分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式， 关键是求出平面的法向量，有两种方法： （1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量； （2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。 解法1: 直线 上的点 在所求平面上；又所求平面的 法线向量 与已知二直线 的方向向量 、 都垂直，从而可取 于是所求平面方程为 即 解法2：设所求的法向量为 过直线 上的点 的方程为 已知二直线 的方向向量为 、 ， 因为 平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有 解得 取 则 。 平面方程为： 即 【例9】求直线 与直线 的夹角。 分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。 解：直线 的方向向量是 ，而直线 的方向 向量 分别与两向量 ， 垂直,则可取 从而直线 与直线 的夹角 的余弦为 因此 【例10】求过点 ，垂直于直线 且平行于 平面 的直线方程。 可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知 直线的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量 解：设所求直线 的方向向量为 ，已知直线 的方向 向量 ,已知平面 的法向量为 ， ， ，所以， ，故可取 已知 从而所求直线的方程为 即 【例11】* 已知直线 及点 ， 求点 到直线 的距离 。 分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直 相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影）， 得出交点即可求出。 过点 做垂直于已知直线 的平面 ，其法向量 即是 的方向向量 ，则平面方程为 即 再求已知直线 与平面 的交点 ，取已知直线 上点 ，得直线的对称式方程为 解：已知直线 的方向向量为 化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入 平面 方程 得 ，则 故有交点 ， 因此所求的距离为 注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在 直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。 【例12】通过二平面 与 的交线及 点 的平面方程。 分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的 所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所 向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。 又可利用过交线的平面束。 确定的向量 在所求平面上，两者可确定所求平面的法 解法1：设两个平面的交线为 ，方向向量为 ，已知两平面 的法向量为 ， ，因为 法向量。所给两个平面的交线 （方向向量 ）显然应该在 点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上， 该点与点 所确定的向量 平面上。则所求平面的法向量为 在所求 则所求平面的方程为 即 可取 解法2：同解法1交线 的方向向量为 ， 设求平面的法向量为 ，则 ， ， 于是有 ，得 取 ，则 则所求平面的方程为 即 解法3：过交线 的平面束的方程是 即 点 不在交线上，故平面束中过点 的 平面唯一。将 的坐标代入平面束方程： 可得 于是求平面的方程为 即 【例13】求直线 在平面 上的投影的直线方程。 分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知 平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。 解：过已知直线的平面束方程为 即 其法向量 平面束中有一个平面与已知平面垂直， 与已知平面法向量 垂直 即其法向量 则两者的数量积为零，即 解得 则法向量为 . 于是平面束中以此为法向量的平面方程为 即是直线的投影柱面。 则已知直线在已知平面上的投影为 【例14】一平面通过两平面 的交线，且与平面 成 角,求其方程. 分析：过过交线线的平面束中有两个平面与已知平面成 用数量积表示 . 解：过交线的平面束方程为 即 其法向量为 与已知平面法向量 成 时有, 当 即 可得 于是所求平面两个: （1） 时, 有 ,即为已知平面。 （2） 时,有