选修2-2定积分真题及其答案.doc

选修2-2定积分真题及其答案参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2015长沙校级二模）设，下列关系式成立的是（）AabBa+b1CabDa+b=1【考点】定积分；不等关系与不等式菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】利用微积分基本定理分别求出a、b，再利用三角函数的有关性质即可得出答案【解答】解：（sinx）=cosx，=sin1；（cosx）=sinx，=1cos1sin1+cos11，sin11cos1，即ab故选A【点评】正确应用微积分基本定理和sin1+cos11是解题的关键2（2015会宁县校级模拟）曲线y=与直线y=x1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A2ln2B2ln2C4ln2D42ln2【考点】定积分菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案【解答】解：令x=4，代入直线y=x1得A（4，3），同理得C（4，）由=x1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x1交于点B（2，1）SABC=S梯形ABEFSBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln42ln2=2ln2S梯形ABEF=（1+3）2=4封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEFSBCEF=42ln2故选D【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题3（2015海南模拟）设集合A=（x，y）|x|+|y|2，B=（x，y）A|yx2，从集合A中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）B的概率是（）ABCD【考点】定积分；几何概型菁优网版权所有【分析】集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，2）（2，0）（2，0），集合B是抛物线y=x2 下方的区域，分别求出面积，即可求出P（x，y）B的概率【解答】解：集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，2）（2，0）（2，0），集合B是抛物线y=x2 下方的区域 由，可求得两图象在第一象限的交点坐标为（1，1）抛物线y=x2 下方的区域的面积，根据对称性，可得面积为=5+2=，正方形的面积为，P（x，y）B的概率是故选B【点评】本题考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，其中确定抛物线y=x2 下方的区域的面积是关键4（2015佳木斯一模）已知等比数列an，且a4+a8=dx，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A2B4CD9【考点】定积分；数列的求和菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，由dx表示圆的x2+y2=4的面积的，可得dx=由于a4+a8=dx=，可得a6（a2+2a6+a10）=2【解答】解：设等比数列an的公比为q，dx表示圆的x2+y2=4的面积的，dx=a4+a8=dx=，a6（a2+2a6+a10）=2故选：A【点评】本题考查了定积分的几何意义、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（2015新余二模）已知函数f（x）=sin（x）1（0），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）ABCD【考点】定积分；函数的零点菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】把f（x）=sin（x）1代入（f（x）+1）dx=0，由定积分求得，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点【解答】解：由f（x）=sin（x）1且（f（x）+1）dx=0，得sin（x）dx=0，cos（x）=0即，0，=，则f（x）=sin（x）1，由sin（x）1=0，解得：取k=0，得x=故选：A【点评】本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题6（2015兰州二模）已知函数f（x）=，则（）ABCD【考点】定积分菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用【分析】先根据条件可化为（x+1）2dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可【解答】解：（x+1）2dx+dx，（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=，（x+1）2dx+dx=，故选：B【点评】本题主要考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题7（2012海珠区模拟）用maxa，b表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（）ABCD【考点】定积分菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分【解答】解：由题设知：，故选A【点评】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数8（2010赫山区校级一模）=（）A4ln2B4ln2+1C4ln2+3D3ln2+3【考点】定积分菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】直接求出函数2xlnx+x的原函数，根据积分的定义计算即可【解答】解：=（x2lnx）|12=4ln2ln1=4ln2；故答案为A【点评】本题考查定积分的计算，关键是找出被积函数的原函数，属于基础题9（2015怀化二模）定积分dx的值为（）ABCD2【考点】定积分菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可【解答】解：y=，（x1）2+y2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，定积分dx=，故选：A【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题10（2015钦州模拟）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）ABCD【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解【解答】解：如图所示S=SABOS曲边梯形ABO，故选：B【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算11（2015兴安盟二模）如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为（）A1BC2D2【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：D【点评】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求12（2015厦门模拟）如图所示，由直线x=a，x=a+1（a0），y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2x2dx（a+1）2类比之，nN*，+A+恒成立，则实数A等于（）ABCln2Dln【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【专题】新定义【分析】令A=A1+A2+A3+An，根据定积分的定义得到：A1=lnn+ln（n+1），同理求出A2，A3，An的值，相加求出即可【解答】解：令A=A1+A2+A3+An，由题意得：A1，A2，A3，An，A1=dx=lnx|=ln（n+1）lnn，同理：A2=ln（n+1）+ln（n+2），A3=ln（n+2）+ln（n+3），An=ln（2n1）+ln2n，A=A1+A2+A3+An=lnn+ln（n+1）ln（n+1）+ln（n+2）ln（n+2）+ln（n+3）ln（2n1）+ln2n=ln2nlnn=ln2，故选：C【点评】本题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A1，A2，A3，An的值是解题的关键，本题是一道中档题13（2015武汉模拟）如图，矩形OABC的四个顶点坐标依次为O（0，0），A（，0），B（，1），C（0，1），记线段OC，CB以及y=sinx（0）的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形OABC内任意投一点M，则点M落在区域内的概率为（）AB1C1D【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】利用积分求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式，即可得到结论【解答】解：阴影部分的面积是：=，矩形的面积是：，点M落在区域内的概率：，故选：C【点评】本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积14（2015潍坊模拟）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间0，上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A31B42CD2【考点】定积分在求面积中的应用；正弦函数的图象；余弦函数的图象菁优网版权所有【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=（cosxsinx）dx+（sinxcosx）dx+（cosxsinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案【解答】解：由y=sinx（x0，）和y=cosx（x0，），可得交点坐标为（，），（，），由两曲线y=sinx（x0，）和y=cosx（x0，）所围成的封闭图形的面积为S=（cosxsinx）dx+（sinxcosx）dx+（cosxsinx）dx=（sinx+cosx）（sinx+cosx）+（sinx+cosx）=2故选：D【点评】本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题二填空题（共2小题）15（2011哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x0，1，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）（1）F（x）是0，1上的增函数；（2）F（x）=f（x）；（3）F（x）是0，1上的减函数；（4）x00，1使得F（1）=f（x0）【考点】定积分；导数的概念菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）0在a，b上形成的曲边梯形的面积为S=abf（x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f（x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确【解答】解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F（x）=f（x），当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；由定积分的几何意义可知，必然）x00，1，使S1=S2，此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=01f（t）dt=f（x0），故（4）正确所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）故答案为：（1）（2）（4）【点评】此题要求学生掌握定积分的几何意义，理解导函数与原函数间的关系，是一道基础题16（2005湖南）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在0，上的面积为（nN*），（i）y=sin3x在0，上的面积为；（ii）y=sin（3x）+1在，上的面积为【考点】定积分菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（i）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在0，上的面积，得出函数y=sin3x在0，上的面积是函数y=sin3x在0，上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在0，上的面积（ii）设t=x，t0，则y=sin3t+1，同理可求【解答】解：（i）函数y=sinnx在0，上的面积为（nN+），对于函数y=sin3x而言，n=3，函数y=sin3x在0，上的面积为：，则函数y=sin3x在0，上的面积为（ii）设t=x，t0，则y=sin3t+1，y=sin（3x）+1在，上的面积为故答案为：，【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神三解答题（共13小题）17（2015蒙城县校级模拟）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛每3人组成一队，每人投掷一次假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）（）求某队员投掷一次“成功”的概率；（）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】导数的综合应用；概率与统计【分析】（）由题意，求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答；（）明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望【解答】解：（）由题意知：S矩形=1010=100，=20，记某队员投掷一次“成功”事件为A，则P（A）=（5分）（）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=（9分）即X分布列为：X1234P（X）（10分）所以，X的期望EX=1+2+3+4=（12分）【点评】本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望18（2015福建模拟）已知函数f（x）=lnx（）若函数h（x）=f（x）+x2ax在点（1，h（1）处的切线与直线4xy+1=0平行，求实数a的值（）对任意的a1，0），若不等式f（x）ax2+2x+b在x（0，1上恒成立，求实数b的取值范围（）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，设A（a，g（a），B（b，g（b），N=（，g（）（ab），试根据如图所示的曲边梯形ABCD的面积与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的大小关系，写出一个关于a和b的不等式，并加以证明【考点】定积分在求面积中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（）求导数，利用函数h（x）=f（x）+x2ax在点（1，h（1）处的切线与直线4xy+1=0平行，建立方程，即可求实数a的值；（）不等式blnxax22x对任意的a1，0）恒成立，则b（lnxax22x）max，进而转化为不等式blnxx22x在x（0，1上恒成立，即可求实数b的取值范围；（）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，可得ebea（ba）（eb+ea+2），再进行证明即可【解答】解：（）h（x）=（x0），依题意得：h（1）=4即2a=4，a=2（4分）（）由不等式blnxax22x对任意的a1，0）恒成立，则b（lnxax22x）max，函数（a）=lnxax22x在a1，0）上为单调递减，（a）max=（1）=lnx+x22x问题转化为不等式blnx+x22x在x（0，1上恒成立，（7分）令G（x）=lnx+x22x，则G（x）=0G（x）max=G（1）=b的取值范围为b（9分）（）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，用不等式表示为（ba）g（a）+g（）+（ba）g（b）+g（）（10分）即ebea（ba）（eb+ea+2）（11分）证明：设b=lnm，a=lnn，则=（0nm），不等式ebea（ba）（eb+ea+2）等价于（m+n+2）（11分）即ln令=t（t1），则只要证lnt，即lnt0，又令m（t）=lnt，则m（t）=0，函数m（t）在（1，+）上单调递减，m（t）m（1）=0ebea（ba）（eb+ea+2）（14分）【点评】本题考查知识点较多，涉及导数的几何意义，函数的最值，定积分知识，综合性强19（2009春如东县期末）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【考点】定积分在求面积中的应用；导数的运算菁优网版权所有【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案（2）根据定积分的定义可得答案【解答】解：（1）f（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，根据f（x）=0有两等根，得=44c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；（2）S=【点评】本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用属基础题20（2010永州校级模拟）求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解【解答】解：联立，解得x1=1，x2=2S=01（x2+23x）dx+12（3xx22）dx=+=1【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算21（2013秋琼山区校级期末）如图，计算由曲线y=x2+1，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S【考点】定积分在求面积中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先确定积分区间与被积函数，再求原函数，即可求得结论【解答】解：如图，由y=x2+1与直线x+y=3在点（1，2）相交，（2分）直线x+y=3与x轴交于点（3，0）（3分）所以，所求围成的图形的面积=【点评】本题考查利用定积分求面积，先确定积分区间与被积函数，再求原函数是关键22（2011春天门校级期末）如图，在区间0，1上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1+S2最小【考点】定积分在求面积中的应用；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先利用定积分分别表示出阴影部分的面积S1与S2，然后求出S1+S2关于t的函数解析式和定义域，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最小值【解答】解：，（4分）（6分）令S（t）=0，得或t=0（舍去）当时，S（t）0；当时，S（t）0；当时，S（t）为减函数，当时，S（t）为增函数（10分）所以，当时，（12分）【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，属于中档题23（2015春蠡县校级期末）已知F（x）=dt，（x0）（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在1，3上的最值【考点】微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究F（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在1，3上的最大值是F（3）=6，最小值是【解答】解：依题意得，定义域是（0，+）（2分）（1）F（x）=x2+2x8，令F（x）0，得x2或x4； 令F（x）0，得4x2，且函数定义域是（0，+），函数F（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（6分）（2）令F（x）=0，得x=2（x=4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且，F（3）=6，F（x）在1，3上的最大值是F（3）=6，最小值是（10分）【点评】本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题24（2013临沂一模）已知函数f（x）=alnx+x（a0）（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x2y=0垂直，求实数a的值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）当a（，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）e4【考点】微积分基本定理；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（I）先求f（x）的定义域为x|x0，先对已知函数进行求导，由f（1）=2可求a（II）由=，通过比较a与2a的大小解不等式f（x）0，f（x）0，从而可求函数的单调区间（III）由（II）可知，当a（，0）时，函数f（x）的最小值f（a），结合已知可求a，然后结合已知单调性可求，从而可证【解答】解：（I）由已知可知f（x）的定义域为x|x0（x0）根据题意可得，f（1）=2（1）=2a2a2+1=2a=1或a=（II）=a0时，由f（x）0可得x2a由f（x）0可得0x2af（x）在（2a，+）上单调递增，在（0，2a）上单调递减当a0时，由f（x）0可得xa由f（x）0可得0xaf（x）在（a，+）上单调递增，在（0，a）上单调递减（III）由（II）可知，当a（，0）时，函数f（x）的最小值f（a）故g（a）=f（a）=aln（a）3a则g（a）=ln（a）4令g（a）=0可得ln（a）4=0a=e4当a变化时，g（a），g（a）的变化情况如下表a=e4是g（a）在（，0）上的唯一的极大值，从而是g（a）的最大值点当a0时，=e4a0时，g（a）e4【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用，函数的导数与函数的单调性的应用，及函数的极值与最值的求解的相互关系的应用，属于函数知识的综合应用25（2014春阿勒泰市校级月考）计算定积分：（1）（42x）（4x2）dx；（2）dx【考点】微积分基本定理菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用【分析】根据微积分的基本定理即可得到结论【解答】解：（1）（42x）（4x2）dx=（2x34x28x+16）dx=（）|=；（2）dx=（2x2）dx=（x22xlnx）|=1ln2【点评】本题主要考查微积分定理的应用，要求熟练掌握常见函数的微积分公式26（2013渝水区校级一模）已知等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=2，b2=a2+1=，（1）分别求数列an、bn的通项公式；（2）求数列的前n项的和Sn【考点】微积分基本定理；数列的求和菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）先求，进而根据等差数列an和等比数列bn的通项公式，即可解出公差和公比，即可求出通项公式（2）先求出，再利用错位相减法即可求出其和Sn【解答】解：（1）=40=4，b2=a2+1=4设等差数列an和等比数列bn公差、公比分别为d、q则2q=2