高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数与平面向量 突破点2 解三角形学案 文

突破点2解三角形核心知识提炼提炼1 常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解.提炼2 三角形的常用面积公式设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，其面积为S.(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)(2)Sabsin Cbcsin AcasinB.(3)Sr(abc)(r为三角形ABC内切圆的半径)高考真题回访回访1正、余弦定理的应用1.(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A.BC2D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.75如图，由正弦定理，得，sin B.又cb，B45，A180604575.3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.回访2三角形的面积问题4(2013全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1C22 D.1BB，C，ABC.由正弦定理，得，即，c2.SABCbcsin A22sin 1.故选B.回访3正、余弦定理的实际应用5(2014全国卷)如图21，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.图21150根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)热点题型1正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化【例1】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tanB. 【导学号：04024038】解 (1)证明：根据正弦定理，可设k(k0)则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，2分即sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)4分在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.6分(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A，8分所以sin A.9分由(1)知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos B sin B，11分故tan B412分方法指津关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口变式训练1 (1)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB.2sin Bcos Bsin(B)sinB.又sin B0，cos B，B.法二：在ABC中，acos Cccos Ab，条件等式变为2bcos Bb，cos B.又0B，B.(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acos Bbcos(BC)0.证明：ABC为等腰三角形；若2(b2c2a2)bc，求cos Bcos C的值解证明：acos Bbcos (BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，3分sin(AB)0，ABk，kZ4分A，B是ABC的两内角，AB0，即AB，5分ABC是等腰三角形6分由2(b2c2a2)bc，得，7分由余弦定理得cos A，8分cos Ccos(2A)cos 2A12cos2 A10分AB，cos Bcos A，11分cos Bcos C12分热点题型2三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等【例2】设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值【导学号：04024039】解 (1)由题意知f(x)sin 2x2分由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ4分所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)6分(2)由fsin A0，得sin A，7分由题意知A为锐角，所以cos A8分由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，10分即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A，所以ABC面积的最大值为12分方法指津1在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为yAsin(x)B(或yAcos(x)B，yAtan(x)B)的形式，进而利用函数ysin x(或ycos x，ytan x)的图象与性质解决问题2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac两项，二者的关系a2c2(ac)22ac经常用到，有时还可利用基本不等式求最值变式训练2(2017深圳二模)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2basin Bbcos A，c4.(1)求A；(2)若D是BC的中点，AD，求ABC的面积解 (1)由2basin Bbcos A及正弦定理，又0B，可得2sin Acos A，2分即有sin1，4分0A，A，A，A6分(2)设BDCDx，则BC2x，由余弦定理得cosBAC，得4x2b24b16.7分ADB180ADC，cosADBcos