高中数学 第二章 数列 2_2_1 等差数列（二）课件 新人教b版必修51

第二章 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列（二） 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一 等差数列通项公式的推广 已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1 (n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an? 答案 设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d， 变形得a1am(m1)d， 则ana1(n1)dam(m1)d(n1)d am(nm)d. 思考2 由思考1可得 ，你能联系直线的斜 率解释一下这两个式子的几何意义吗？ 等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图象为一条直 线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直 线上的点d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜 率d .当两点为(n，an)，(m，am)时，有d . 答案 梳理 等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时， d . 知识点二 等差数列的性质 利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“ 等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an 1a3an2. 思考 还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等 差数列，你有什么猜想？答案 梳理 在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则am ap .特别地，若mn2p，则anam2ap. an aq 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？ 若是，公差是多少？ (an1an3)(anan2) (an1an)(an3an2)dd2d. anan2是公差为2d的等差数列 答案 梳理 若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有 数列结论 can公差为d的等差数列(c为任一常数) can公差为cd的等差数列(c为任一常数) anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN) panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数) 题型探究 因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2. 又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1. 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例1 在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项 公式解答 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算 反思与感悟 跟踪训练1 数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an (nN)，若b32，b1012，则a8等于 A.0 B.3 C.8 D.11 答案解析 bn为等差数列，设其公差为d， bnb3(n3)d2n8. a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2) (a2a1)a1 b7b6b1a1 (b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a1 7b4a17033. 取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)， 求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p. 它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列 由于anpnqqp(n1)p， 所以首项a1pq，公差dp. 类型二 等差数列与一次函数的关系 例2 已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个 数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解答 反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度， 利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征 ，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华 跟踪训练2 某公司经销一种数码产品，第1年获利200 万元，从第2年 起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20 万元，按照 这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起， 该公司经销这一产品将亏损？ 解答 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120 (n2，nN)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公 差d20. 所以ana1(n1)d200(n1)(20) 20n220. 若an0，则该公司经销这一产品将亏损， 由an20n2200，解得n11， 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损 类型三 等差数列性质的应用 例3 已知在等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的 通项公式解答 方法一 因为a1a72a4，a1a4a73a415， 所以a45. 又因为a2a4a645，所以a2a69， 即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9， 解得d2. 若d2，ana4(n4)d2n3； 若d2，ana4(n4)d132n. 方法二 设等差数列的公差为d， 则由a1a4a715，得 a1a13da16d15， 即a13d5， 由a2a4a645， 得(a1d)(a13d)(a15d)45， 将代入上式，得 (a1d)5(52d)45， 即(a1d)(52d)9， 解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2， 所以an12(n1)2n3 或an112(n1)2n13. 引申探究 1.在例3中，不难验证a1a4a7a2a4a6，则在等差数列an中， 若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN，是否有amanap aqaras?解答 设公差为d，则ama1(m1)d， ana1(n1)d， apa1(p1)d， aqa1(q1)d， ara1(r1)d， asa1(s1)d， amanap3a1(mnp3)d， aqaras3a1(qrs3)d， mnpqrs， amanapaqaras. a3a810， a3a3a8a820. 33885557， a3a3a8a8a5a5a5a7， 即3a5a72(a3a8)20. 2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.20 答案解析 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质 ；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通 项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想. 反思与感悟 跟踪训练3 在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833 ，求a3a6a9的值.解答 方法一 (a2a5a8)(a1a4a7)3d， (a3a6a9)(a2a5a8)3d， a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列. a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927. 方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39， a13d13， a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33. a14d11， a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27. 当堂训练 由等差数列的性质得a8a3(83)d5d， 1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于 A.3 B.6 C.4 D.3 答案 解析 123 由a8a4(84)d4d，得d3， 所以a15a8(158)d147335. 2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于 A.32 B.32 C.35 D.35 答案解析 123 由数列的性质，得a4a5a2a7， 所以a215123. 123 3.在等差数列an中，已知a4a515，a712，则a2等于 答