高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第70讲 直线方程的求法

第70讲 直线方程的求法【知识要点】一、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式. 二、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件.求直线方程，一般用待定系数法，先定式（形式）后定量.三、直线方程的点斜式（1）点斜式方程 (直线过点，且斜率为)（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率.（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点的直线应设为或，不能遗漏了没有斜率的那条直线.四、直线方程的斜截式（1）斜截式方程 (为直线在y轴上的截距).（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距.截距不是距离，是一个实数，可以正，可以负，也可以为零.（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论.五、直线方程的两点式（1）两点式方程 ()(、 ().（2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标.（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可.（4）两点式方程的化简形式可以表示过任意两点的直线的方程.（5）直线方程的两点式比较复杂，很少用，一般先根据两点的坐标求出直线的斜率，再利用直线方程的点斜式写出直线的方程. 六、直线方程的截距式(1)截距式方程 (分别为直线的横、纵截距，)（2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距.（3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线. 七、直线方程的一般式 (其中不同时为0).（1）直线方程必须知道直线的两个独立条件；（2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式.八、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况.九、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解.十、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式.十一、直线的方程直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与轴垂直的直线已知一个定点和斜率.斜截式不能表示与轴垂直的直线.已知在轴上的截距和直线的斜率.两点式()(、 ().不能表示与轴、轴垂直的直线.已知两个定点的坐标.截距式(分别为直线的横、纵截距，)不能表示与轴垂直、轴垂直和过原点的的直线.已知直线在两个轴上的两个截距.一般式(其中不同时为0).能表示所有的直线一般情况都可以用.【方法讲评】题型一点斜式方程使用情景一般知道直线的斜率或直线上的点的坐标.解题步骤先设出直线方程的点斜式方程，再求待定系数.【例1 】已知点（2，3），（4，5）和（1，2），求过点且与点，距离相等的直线方程【点评】本题用到了直线方程的点斜式方程，所以必须要分斜率存在或不存在两种情况讨论.否则容易漏解. 【反馈检测1】过点作一直线，使它被两直线和所截的线段以为中点，求此直线的方程题型二斜截式方程使用情景一般知道直线的斜率或纵截距.解题步骤先设出直线方程的斜截式方程，再求待定系数.【例2】求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L的方程.【解析】设直线L的方程为 令得；令得. |b|+，b=4,直线L的方程为.【点评】在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的表示直线在轴上的截距.【反馈检测2】直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，求的值.题型三截距式方程使用情景一般知道直线方程的横截距或纵截距.解题步骤先设出直线方程的截距式方程，再求待定系数.【例3】求过点并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.【点评】由于直线方程的截距式不能表示没有截距或截距为零的直线，所以在求该直线的方程时，要分类讨论.否则容易漏解.【反馈检测3】直线过点 (3,2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 .题型四两点式方程使用情景一般知道或可以求出两个点的坐标.解题步骤先求出两个点的坐标，再代入直线方程的两点式.【例4】过点（0，1）作直线，使它被两条已知直线和所截得的线段被点平分.求直线的方程.【解析】设点在上，由题设知，点必在上， 即 根据两点式可得，直线方程为：.【点评】以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解.【 反馈检测4】三角形的顶点是(5，0)、(3，3)、(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.题型五一般式方程使用情景一般都可以用，只是比较复杂，一般用的比较少.解题步骤先设出直线方程的一般式方程，再求待定系数.【例5】求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.【点评】与直线平行的直线可以设为的形式，与直线垂直的直线可以设为.【反馈检测5】与直线平行，并且距离等于的直线方程是_.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第70讲：直线方程的求法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】（1）当不存在时，：不满足题意； （2）当存在时，设直线：， 可得， 由中点坐标公式得 直线方程为. 【反馈检测2答案】。【反馈检测2详细解析】由已知可得直线，设的方程为，则，因为过 得【反馈检测3答案】或【反馈检测4答案】直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为.【反馈检测4详细解答】（用两点式求所在直线的方程）直线经过点(5，0)、(3，3)，由两点式得，整理得，这就是直线的方程.（用斜截式求所在直线方程）因为(3，3)、(0，2)，所以，截距=2，由斜截式得，整理得，这就是直线的方程.（用截距式求所在直线的方程）因为(5，0)、(0，2)，所以直线