高中数学 第二章 平面向量 2_3_3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案 新人教b版必修4

23.3向量数量积的坐标运算与度量公式预习课本P112114，思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？1向量数量积及向量垂直的坐标表示设a(a1，a2)，b(b1，b2)(1)数量积aba1b1a2b2.(2)若a，b为非零向量，ab a1b1a2b20.点睛记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”2三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a(a1，a2)，则|a|.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角公式：a(a1，a2)，b(b1，b2)，则cosa，b.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b20.()(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()答案：(1)(2)(3)2已知a(3,4)，b(5,2)，则ab的值是()A23B7C23D7答案：D3已知向量a(x5,3)，b(2，x)，且ab，则由x的值构成的集合是()A2,3B1,6 C2D6答案：C4已知a(1，)，b(2,0)，则|ab|_.答案：2平面向量数量积的坐标运算典例(1)(全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0C1 D2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5 B4C3D2解析(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.(2)由(1，2)(2,1)(3，1)，得(2,1)(3，1)5.答案(1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算活学活用已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.解：(1)因为a与b同向，又b(1,2)，所以ab(，2)又ab10，所以12210，解得20.因为2符合a与b同向的条件，所以a(2,4)(2)因为bc122(1)0，所以(bc)a0a0.向量的模的问题典例(1)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B.C2D10(2)已知点A(1，2)，若向量与a(2,3)同向，|2，则点B的坐标是_解析(1)由a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)|ab|.(2)由题意可设a(0)，(2，3)又|2，(2)2(3)2(2)2，解得2或2(舍去)(4,6)又A(1，2)，B(5,4)答案(1)B(2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|. 活学活用1已知向量a(cos ，sin )，向量b(，0)，则|2ab|的最大值为_解析：2ab(2cos ，2sin )，|2ab|，当且仅当cos 1时，|2ab|取最大值2.答案：22已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析：a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)，|c|8.答案：8向量的夹角和垂直问题典例(1)已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数_.(2)已知a(2,1)，b(1，1)，cakb，dab，c与d的夹角为，则实数k的值为_解析(1)a(3,2)，b(1,2)，ab(3，22)又(ab)b，(ab)b0，即(3)(1)2(22)0，解得.(2)cakb(2k,1k)，dab(1,0)，由cos 得，(2k)2(k1)2，k.答案(1)(2)解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐标表示cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0. 活学活用已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.求解平面向量的数量积典例已知点A，B，C满足|3，|4，|5，求的值解法一定义法如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且B，cos A，cos C，45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A201525.法二坐标法如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)(3,0)，(0,4)，(3，4)30040，034(4)16，3(3)(4)09.016925.法三转化法|3，|4，|5，ABBC，0，()|225.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式ab|a|b|cos 求解；(2)坐标法：利用坐标式aba1b1a2b2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算 活学活用如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cosDOE的值为_解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得，.故cosDOE.法二：，|，|，221，cosDOE.答案：层级一学业水平达标1已知向量a(0，2)，b(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A.B3C D3解析：选D向量a在b方向上的投影为3.选D.2设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2 D10解析：选B由ab得ab0，x11(2)0，即x2，ab(3，1)，|ab|.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6C6 D12解析：选D2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.4a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. BC. D解析：选C设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cosa，b.5已知A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析：选A由题设知(8，4)， (2,4)，(6,8)，28(4)40，即.BAC90，故ABC是直角三角形6设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.解析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m1)3m0，解得m，则a(1，1)，故|a|.答案：7已知向量a(1，)，2ab(1，)，a与2ab的夹角为，则_.解析：a(1，)，2ab(1，)，|a|2，|2ab|2，a(2ab)2，cos ，.答案：8已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则向量b的坐标为_解析：设b(x，y)(y0)，则依题意有解得故b.答案：9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，|ab|2或2.10在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)(1)求及|；(2)设实数t满足(t)，求t的值解：(1)(3，1)，(1，5)，31(1)(5)2.(2，6)，|2.(2)t(32t，1t)，(2，1)，且(t)，(t)0，(32t)2(1t)(1)0，t1.层级二应试能力达标1设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直 Dab解析：选C由题意知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直2已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A(3,0) B(2,0)C(3,0)D(4,0)解析：选C设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当x3时，最小，此时点P的坐标为(3,0)3若a(x,2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Cx应满足(x,2)(3,5)0且a，b不共线，解得x，且x，x.4已知(3,1)，(0,5)，且， (O为坐标原点)，则点C的坐标是()A. B.C. D.解析：选B设C(x，y)，则(x，y)又(3,1)，(x3，y1)，5(x3)0(y1)0，x3.(0,5)，(x，y5)，(3,4)，3x4(y5)0，y，C点的坐标是.5平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析：因为向量a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m4,2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以，即，所以，解得m2.答案：26已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设E(1，a)(0a1)所以(1，a)(1,0)1，(1，a)(0,1)a1，故的最大值为1.答案：117已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.8已知(4,0)，(2,2)，(1) (2)(