高中数学 第一章 立体几何初步 1_1_3 圆柱、圆锥、圆台和球学案 新人教b版必修2

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.通过观察实物和几何模型，总结出圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征.2.能根据圆柱、圆锥、圆台和球的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法.知识链接(1)如图，在直角三角形ABC中，sin B，cos B.(2)如图，圆内接三角形ABC，AC过圆心，则B90.(3)如图，在ABC中，DEBC，则.预习导引1.圆柱、圆锥和圆台定义圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边，直角三角形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体结构特征轴旋转轴叫做所围成的几何体的轴高在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高结构特征底面垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面侧面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面母线无论旋转到什么位置，不垂直于轴的这条边都叫做侧面的母线图形2.球(1)一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面；球面围成的几何体，叫做球.(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.(3)球的截面的性质：球的截面是一个圆面；球心与截面圆心的连线垂直于截面；球半径R、截面圆半径r，则球心到截面的距离d.(4)球面距离是指经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度.(5)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.3.组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体.要点一旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确.(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.规律方法1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.跟踪演练1下列叙述中正确的个数是()以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0 B.1C.2 D.3答案A解析应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；它们的底面为圆面；用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确.要点二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示.(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示.(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.规律方法1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.2.必要时作模型培养动手能力.跟踪演练2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图、图.其中图是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.要点三有关几何体的计算问题例3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO的母线长.解设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为116，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示.则SOASOA，SA3 cm.解得l9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.规律方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪演练3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r2 cm，下底半径r5 cm.(1)由勾股定理得h3(cm).(2)由三角形相似得：，解得x20(cm).答(1)圆台的高为3 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1.下列几何体是台体的是()答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.2.图1是由下列哪个平面图形绕轴OO旋转而成的组合体()答案D解析组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确.3.下面几何体的截面一定是圆面的是()A.圆台 B.球C.圆柱 D.棱柱答案B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.4.下列命题：通过圆台侧面上一点，有无数条母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是()A. B.C. D.答案D解析错误，正确.5.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为_cm.答案10解析h20cos 3010.1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思