空间向量与立体几何知识点归纳总结.doc

勤奋，博学，笃志，感恩！空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数，使。（3）三点共线：A、B、C三点共线 （4）与共线的单位向量为4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：若，则， ， 。若，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，三角形重心P坐标为ABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若，则，（5）夹角公式：。ABC中A为锐角A为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若，则，或 7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（4）空间向量数量积的性质：。（5）空间向量数量积运算律：。（交换律）。（分配律）。不满足乘法结合率：新课标高二数学同步测试（21第三章3.1）一、选择题： 图1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD2在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）A B C D3已知平行六面体中，AB=4，AD=3，则等于（ ）A85 B C D504与向量平行的一个向量的坐标是（ ）A（，1，1） B（1，3，2）C（，1） D（，3，2）5已知A（1，2，6），B（1，2，6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）A0 B C D6已知空间四边形ABCD中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（ ）A BC D 7设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则DBCD是（ ）A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定8空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，则cos=（ ）ABC-D09已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为（ ）ABCD10 已知，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）11若，则为邻边的平行四边形的面积为 12已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为 13已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则DABC的形状是 14已知向量，若成1200的角，则k= 三、解答题： 15如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长16如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值（3）求证：A1BC1M.二空间向量与立体几何1.平面的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作，此时我们把向量叫做的法向量.注：平面的法向量不是唯一的，因此采取灵活多样的方法来求出平面的法向量.2平面法向量的求法：、几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直.、几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为.2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，3根据法向量的定义建立关于的方程组.4解方程组，取其中的一个解，即取法向量注（*）：由于一个平面的法向量有无数个，故可在带入方程的解中取一个最简单的作为平面的法向量3直线方向向量与平面的法向量与它们相对位置关系的判断方法1线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直典型例题题型一：证明多点共面方法：若四点中任意三点不共线，则四点共面的充要条件为存在实数，使例：已知平行四边形，从平面外一点o引向量.求证：四点共面题型二：证明多线共面方法：1先由两条直线确定一个平面并确定出此平面的一个基底； 2证明另外一些直线与此平面有交点，并可被所确定的基底线性表示.题型三：异面直线的距离第一步：求出异面直线的方向向量.第二步：求出与的方向向量都垂直的向量，即直线公垂线的方向向量第三步：在直线上任取两点第四步：求出在投影的绝对值，即为异面直线间距离例：1正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）A B C D2在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 题型四：点到线距离求解方法：设空间一点为A，直线为，其方向向量为，在直线上任取一点，则点到直线的距离例：设正方体中，边长为2，E为中点，求与交点O到AC的距离题型五：点到面距离求解方法：如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d. 例：知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_答案：题型八：求线到面、面到面的距离：这类问题可以转化为点到面的距离例：在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（ ）A BC D题型九：异面直线所成角的求解方法：线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，例：在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是()A. B. C. D. 答案：A 题型十：线面所成角的求解方法：线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.例：2013佛山质检已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值_答案：题型十一：二面角的平面角的求解方法：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 例：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小练习：已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD