高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1_2_2 圆周角定理学案 新人教b版选修4-1

12.2圆周角定理对应学生用书P19读教材填要点1圆周角的定义从O上任一点P引两条分别与该圆相交于A和B的射线PA，PB，叫做APB所对的弧，APB叫做所对的圆周角2圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半3圆周角定理的推论(1)推论1：直径(或半圆)所对的圆周角都是直角(2)推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等(3)推论3：等于直角的圆周角的所对弦是圆的直径小问题大思维1圆心角的大小与圆的半径有关系吗？提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径没有关系2相等的圆周角所对的弧也相等吗？提示：不一定只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等对应学生用书P19圆周角与圆心角问题例1锐角三角形ABC内接于O，ABC60，BAC40，作OEAB交劣弧于点E，连接EC，求OEC.思路点拨本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用解决本题需要先求OEC所对的弧的度数，然后根据圆心角定理得OEC的度数精解详析连接OC.ABC60，BAC40，ACB80.OEAB，E为的中点和的度数均为80.EOC8080160.OEC10.圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对圆心角的一半1在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦，求此弦所对的圆周角解：如图所示，AB5 cm，过点O作ODAB于点D.ODAB，OD经过圆心O，ADBD cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30，AOD60.AOB2AOD120.ACBAOB60.AOB120，劣弧的度数为120，优弧的度数为240.AEB240120，此弦所对的圆周角为60或120.利用圆周角定理证明线段相等例2如图所示，已知O中，的中点分别是E，F，直线EF交AC于P，交AB于Q.求证：APQ是等腰三角形思路点拨要证等腰三角形，可分别用弧的度数表示APQ与AQP，然后根据等腰三角形的定义作出判断精解详析连接CE，BF，E，F分别是O中与的中点，.又FPCACEPEC()的度数，FPCAPQ，APQ的度数()的度数，同理AQP的度数()的度数，APQAQP.APQ是等腰三角形(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周角同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用(2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于已知线段2.如图，AB是O的一条弦，ACB的平分线交AB于点E，交O于点D.求证：ACCBDCCE.证明：连接BD.在ACE与DCB中，EAC与BDC是同弧所对的圆周角，EACBDC.又CE为ACB的平分线，ACEDCB，ACEDCB.ACCBDCCE.利用圆周(心)角定理及其推论求线段长例3如图，AB是O的直径，AB2 cm，点C在圆周上，且BAC30，ABD120，CDBD于D.求BD的长思路点拨本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应用解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识解决精解详析连接BC，AB为O的直径，ACB90.BAC30，AB2 cm，BC1 (cm)ABD120，DBC1206060.CDBD，BCD906030.BD0.5 (cm)在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等3如图，ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，求BP长解：连接CP，AC为圆的直径，CPA90，即CPAB.又ACB90，由射影定理可知AC2APAB.AP3.6.BPABAP103.66.4.对应学生用书P21一、选择题1在O中，AOB84，则弦AB所对的圆周角是()A42B138C84 D42或138解析：借助圆形和圆周角定理可知，弦AB所对的圆周角有两种情况，即为42或138.答案：D2如图，AC是O的直径，AB、CD是O的两条弦，且ABCD，如果BAC32，那么AOD()A16 B32C48 D64解析：ABCD，.又BAC32，的度数为64.AOD64.答案：D3.如图，ABC内接于O，C30，AB2，则O的半径为()A. B2C2 D4解析：连接AO并延长交O于D，连接BD.DC30，在RtABD中，AD2AB4，半径为2.答案：B4如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么等()AsinBPDBcosBPDCtanBPDD以上答案都不对解析：连接BD，由BA是直径，知ADB是直角三角形由DCBDAB，CDACBA，CPDBPA，得CPDAPB.cosBPD.答案：B二、填空题5如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_解析：如图，连接AB，AC，CE，由A，E为半圆周上的三等分点，得FBD30，ABD60，ACB30.又BC4，AB2，AD，BD1.则DF，故AF.答案：6如图所示，已知AB是O的直径，CD与AB相交于E，ACD60，ADC45，则AEC_.解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知ACB90.ACD60，DCB30，的度数60.ADC45，的度数90.AECDCBCBE()的度数75.答案：757.如图，在O中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC的周长是_解析：由圆周角定理，得ADACB60.ABBC.ABC为等边三角形周长等于9.答案：98如图，在圆的内接四边形ABCD中，ABC90，ABD30，BDC45，AD1，则BC_.解析：连接AC.因为ABC90，所以AC为圆的直径又ACDABD30，所以AC2AD2.又BACBDC45，故BC .答案：三、解答题9.如图，已知在O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD和BD的长解：因为AB为直径所以ACBADB90.在RtABC中，BC8(cm)因为CD平分ACB，所以，所以ADB为等腰直角三角形所以ADBDAB105(cm)10(江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.11如图所示，在圆内接ABC中，ABAC，D是BC边上的一点，E是直线AD和ABC外接圆的交点(1)求证：AB2ADAE；(2)如图所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由证明：(1)如图，连接BE.ABAC，A