高中数学 第一章 计数原理 4 简单计数问题教学案 北师大版选修2-3

4 简单计数问题 有限制条件的组合问题例12011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？思路点拨选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步精解详析(1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有CCCC185种抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法一点通(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有()A26B84C35 D21解析：从7名队员中选出3人有C35种选法答案：C2从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A70种 B80种C100种 D140种解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名共有CCCC70种答案：A3某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C816种(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C8 568种(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有CC种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法故共有选法CCC6 936种.几何中的组合问题例2平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？思路点拨解答本题可用直接法或间接法进行精解详析法一(直接法)：共线的4点记为A，B，C，D.(1)第一类：A，B，C，D确定1条直线；第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线；(2分)第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线(3分)根据分类加法计数原理，共有不同直线1CCC1102031条(4分)(2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得CC个三角形；第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得CC个三角形；第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三角形共有CCCCC80个三角形(8分)(3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得CCCCC105个四边形(12分)法二(间接法)：(1)可确定直线CC131条(2)可确定三角形CC80个(3)可确定四边形CCCC105个一点通利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：几何图形的隐含条件：如三角形的三个顶点不共线；四边形的四个顶点中任意三点都不共线等根据实际情况选择直接法或间接法确定分类的标准，合理分类4从正方体ABCDABCD的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为()AC12 BC8CC6 DC4解析：从8个顶点中任取4个有C种方法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C12)个不同的四面体答案：A5正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_个解析：C332.答案：326平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成_个平行四边形解析：第一步，从m条中任选2条有C种选法；第二步，从n条中任选2条有C种选法由分步乘法计数原理，得共有CC.答案：CC解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键 19件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A81B60C6 D11解析：分三类：恰有2件一等品，有CC60种取法；恰有3件一等品，有CC20种取法；恰有4件一等品，有C1种取法抽法种数为6020181.答案：A2以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有()A6个 B12个C18个 D30个解析：从6个顶点中任取4个有C15种取法，其中四点共面的有3种所以满足题意的四面体有15312个答案：B3从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有CC42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有CC7种不同选法，所以共有42749种不同选法答案：C4在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11C12 D15解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C1个与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有64111个答案：B5(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)解析：第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC60种情况答案：606某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修4门，共有_种不同选修方案(用数字作答)解析：分两类完成：第一类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同的选修方案；第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有CC种不同选修方案故共有CCC75种不同的选修方案答案：75712件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C220种抽法(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，所以共有CC90种抽法(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CCCC100种抽法法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种方法，所以共有CC100种抽法810双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为NC243 360(种)即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法(2)从10双鞋子中