高中物理 第4章 能量守恒与可持续发展 4_2_1 研究机械能守恒定律（一）教学案 沪科版必修2

4.2.1研究机械能守恒定律(一)机械能守恒定律及其应用学习目标1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题.一、动能与势能的相互转化1.重力势能与动能的转化只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能.2.弹性势能与动能的转化只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能.3.机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能.二、机械能守恒定律1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.2.表达式：EEkEp恒量.即学即用1.判断下列说法的正误.(1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用.()(2)合力为零，物体的机械能一定守恒.()(3)合力做功为零，物体的机械能保持不变.()(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒.()2.如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由下落，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为_.图1答案mgH一、机械能守恒定律导学探究如图2所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面.图2(1)求物体在A、B处的机械能EA、EB；(2)比较物体在A、B处的机械能的大小.答案(1)物体在A处的机械能EAmgh1mv物体在B处的机械能EBmgh2mv(2)根据动能定理Wmvmv下落过程中重力对物体做功，重力做的功等于物体重力势能变化量的相反数，则Wmgh1mgh2由以上两式可得：mvmvmgh1mgh2移项得mvmgh1mvmgh2由此可知物体在A、B两处的机械能相等.知识深化机械能守恒定律的理解1.“守恒”是指系统能量的转化只限于动能、重力势能和弹性势能，没有其他能量参与，而且在整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变.2.条件：(1)只有重力或弹力做功，其他力不做功(注意：条件不是合力做功等于零，也不是合力等于零).(2)只发生动能和势能(重力势能和弹性势能)的相互转化，无其他形式的能参与转化.例1(多选)不计空气阻力，下列说法中正确的是()A.用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳子的拉力对物体做功，物体机械能守恒B.做竖直上抛运动的物体，只有重力对物体做功，物体机械能守恒C.沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，物体机械能守恒D.用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，物体机械能守恒答案BC例2(多选)如图3所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中()图3A.弹簧的弹性势能不断增加B.弹簧的弹性势能不断减少C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减少D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变答案AD解析从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确.二、机械能守恒定律的应用例3如图4所示，质量m70 kg(包括雪具)的运动员以10 m/s的速度从高h10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计.求运动员：(g10 m/s2)图4(1)在A点时的机械能；(2)到达最低点B时的速度大小；(3)相对于B点能到达的最大高度.答案(1)10 500 J(2)10 m/s(3)15 m解析(1)运动员在A点时的机械能EEkEpmv2mgh70102 J701010 J10 500 J.(2)运动员从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒定律得Emv，解得vB m/s10 m/s(3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得Emgh，解得h m15 m.1.机械能守恒定律的应用步骤首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件.若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解.2.机械能守恒定律常用的三种表达式(1)从不同状态看：Ek1Ep1Ek2Ep2(或E1E2)此式表示系统的两个状态的机械能总量相等.(2)从能的转化角度看：EkEp此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量.(3)从能的转移角度看：EA增EB减.此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统B部分机械能的减少量.针对训练某游乐场过山车简化模型如图5所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动.图5(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过游客自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度不得超过多少？答案(1)2.5R(2)3R解析(1)设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1通过圆形轨道最高点.在圆形轨道最高点有：MgM运动过程机械能守恒：Mgh12MgRMv由式得：h12.5R即高度至少为2.5R.(2)设从高度h2处开始下滑，游客质量为m，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是N7mg.最低点：Nmgm运动过程机械能守恒：mgh2mv由式得：h23R即高度不得超过3R.1.(机械能是否守恒的判断)(多选)下列物体中，机械能守恒的是()A.做平抛运动的物体B.被匀速吊起的集装箱C.光滑曲面上自由运动的物体D.以g的加速度竖直向上做匀减速运动的物体答案AC2.(机械能守恒定律的应用)如图6所示，从光滑的圆弧槽的最高点静止滑下的小物块，滑出槽口时速度沿水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面在水平面内，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1与R2的关系为()图6A.R1R2 B.R1R2 C.R1 D.R1答案D解析小物块沿光滑的圆弧槽下滑的过程，只有重力做功，机械能守恒，故有mgR1mv2要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则mgm由解得R1.3.(机械能守恒定律的应用)如图7所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h10.20 m、h20.10 m，BC水平距离L1.00 m，轨道由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m0.05 kg的滑块沿轨道上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道上升到C点.(g取10 m/s2，已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)图7(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小.(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数.(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由.答案(1)0.1 J2 m/s(2)0.5(3)不一定，原因见解析解析(1)以A点所在的水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得E弹EkEpmgh10.05100.2 J0.1 J由Ekmv可得v02 m/s(2)由E弹d2可得EkE弹4E弹4mgh1由动能定理可得mg(h1h2)mgLEk解得0.5(3)恰能通过圆形轨道最高点必须满足的条件是mg由机械能守恒定律有vv02 m/s得Rm0.4 m当R0.4 m时，滑块能上升到B点；当R0.4 m时，滑块不能上升到B点.课时作业一、选择题(17题为单选题，810题为多选题)1.一个物体在运动的过程中所受的合力为零，则这个过程中()A.机械能一定不变B.物体的动能保持不变，而势能一定变化C.若物体的势能变化，机械能一定变化D.若物体的势能变化，机械能不一定变化答案C解析由于物体在平衡力的作用下运动，速度不变，即物体的动能不变，当物体的势能变化时机械能一定变化，C正确，A、B、D错误.2.下列运动的物体，机械能守恒的是()A.物体沿斜面匀速下滑B.物体从高处以0.9g的加速度竖直下落C.物体沿光滑曲面下滑D.拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升答案C解析物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小.物体以0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，其他力的合力在物体下落时对物体做负功，物体的机械能不守恒.物体沿光滑曲面下滑时，只有重力做功，机械能守恒.拉着物体沿光滑斜面上升时，拉力对物体做功，物体的机械能不守恒.综上所述，机械能守恒的是C项.3.质量为1 kg的物体从倾角为30、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在的平面为零势能面，那么，当物体滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2)()A.0 J，5 J B.0 J，10 J C.10 J，5 J D.20 J，10 J答案A4.如图1所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施.管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑.若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管形管道A、B内部(管道A比管道B高).某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过管道A内部最高点时，对管壁恰好无压力.则这名挑战者()图1A.经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能B.经过管道A最高点时的动能大于经过管道B最低点时的动能C.经过管道B最高点时对管外侧壁有压力D.不能经过管道B的最高点答案C5.如图2所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()图2A.圆环的机械能守恒B.圆环下降到最低点时，弹簧弹性势能变化了mgLC.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案B解析圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒.圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降到最低点时，圆环下降高度hL，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgL.故选B.6.如图3所示，长为L的细线，一端系于悬点A，另一端拴住一质量为m的小球，先将小球拉至水平位置并使细线绷直，在悬点A的正下方O点钉有一小钉子，现将小球由静止释放，要使小球能在竖直平面内做完整圆周运动，OA的最小距离是()图3A. B. C.L D.L答案D解析设小球做完整圆周运动时其轨道半径为R，小球刚好过最高点的条件为mg解得v0小球由静止释放到运动至圆周的最高点过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，取初位置所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得0mvmg(L2R)解得RL所以OA的最小距离为LRL，故D正确.7.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛和使物体沿光滑斜面(足够长)上滑，如图4所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平)，则()图4A.h1h2h3 B.h1h2h3 C.h1h3h2答案D解析竖直上抛物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mghmv，所以h，斜上抛物体在最高点速度设为v1，v10，则mgh2mvmv，所以h2h1h3，故D对.8.把质量为m的石块从高h的山崖上沿与水平方向成角斜向上的方向抛出(如图5所示)，抛出的初速度为v0，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关(不计空气阻力)()图5A.石块的质量 B.石块初速度的大小C.石块初速度的仰角 D.石块抛出时的高度答案AC解析以地面为参考平面，石块运动过程中机械能守恒，则mghmvmv2即v22ghv，所以v由此可知，v与石块的初速度大小v0和高度h有关，而与石块的质量和初速度的方向无关.9.图6是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B处时，下列表述正确的有()图6A.N小于滑块重力 B.N大于滑块重力C.N越大表明h越大 D.N越大表明h越小答案BC解析设滑块在B点的速度大小为v，选B处所在水平面为零势能面，从开始下滑到B处，由机械能守恒定律得mghmv2，在B处由牛顿第二定律得Nmgm，因而选B、C.10.质量相同的小球A和B分别悬挂在长为L和2L的不同长绳上，先将小球拉至同一水平位置(如图7所示)从静止释放，当两绳竖直时，不计空气阻力，则()图7A.两球的速率一样大B.两球的动能一样大C.两球的机械能一样大D.两球所受的拉力一样大答案CD解析两球在下落过程中机械能守恒，开始下落时，重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，下落到最低点时的机械能也一样大，选项C正确.选取小球A为研究对象，设小球到达最低点时的速度大小为vA，动能为EkA，小球所受的拉力大小为FA，则mgLmv，FAmg，可得vA，EkAmgL，FA3mg；同理可得vB2，EkB2mgL，FB3mg，故选项A、B错误，选项D正确.二、非选择题11.如图8所示，某大型露天游乐场中过山车的质量为1 t，过山车从轨道一侧的顶点A处由静止出发，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶点D处，已知D与A在同一水平面上.A、B间的高度差为20 m，圆环半径为5 m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10 m/s2.试求：图8(1)过山车通过B点时的动能；(2)过山车通过C点时的速度大小；(3)过山车通过D点时的机械能.(取过B点的水平面为零势能面)答案(1)2105 J(2)10 m/s(3)2105 J解析(1)过山车由A点运动到B点的过程中