高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训8 空间几何体的三视图、表面积和体积 理

专题限时集训(八)空间几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第93页)(限时：40分钟)题型1几何体的三视图、表面积和体积2,3,4,5,6,11,14,15,16,17,19题型2球与几何体的切接问题1,7,8,9,10,12,13,18,20一、选择题1一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图812所示，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是()图812AB3C4D6B由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为，此四面体的外接球的表面积为43，故选B.2(2017惠州三调)某四棱锥的三视图如图813所示，该四棱锥最长棱的棱长为() 【导学号：07804060】图813A1BC.D2C四棱锥的直观图如图所示，PC平面ABCD，PC1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，故最长棱PA.3(2017沈阳一模)已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA平面ABC，ABBC，AB1，BC，若球O的表面积为4，则SA()A.B1C.DB根据已知把SABC补成如图所示的长方体因为球O的表面积为4，所以球O的半径R1,2R2，解得SA1，故选B.4(2017广州一模)如图814，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()图814 D由题意可得该几何体可能为四棱锥 ，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为224，因为该几何体的体积为42，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形 .选D.5(2017江西五校联考)如图815是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为()图815A.1BC.D1A由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱r2h.正三棱柱底面三角形的高为3r，边长为2r，则V正三棱柱2r3rh3r2h，所以该几何体的体积V(3)r2h，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为1.6(2017郑州第一次质量检测)某几何体的三视图如图816所示，则该几何体的体积为()图816A80B160C240D480B如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABCABC中截去一个三棱锥AABC后所剩余的部分，其中底面ABC是直角三角形，ACAB，AC6，AB8，BB10，因此题中的几何体的体积为1010160，选B.7(2017南昌十校二模联考)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为()A4B6C8D10C依题意，设题中球的球心为O、半径R，ABC的外接圆半径为r，则，解得R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距离为3，因此三棱锥PABC的高的最大值为538，选C.8(2017兰州实战模拟)某几何体的三视图如图817所示，则下列说法正确的是() 【导学号：07804061】图817该几何体的体积为；该几何体为正三棱锥；该几何体的表面积为；该几何体外接球的表面积为3.ABCDB根据该几何体的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，它的另外三条棱长均为，显然其是一个正三棱锥，正确；该几何体的体积V111，正确；该几何体的表面积S311，错误；该几何体外接球的直径为2R，所以其外接球的表面积为4R23，正确故选B.9(2017广州高中毕业班综合测试)如图818，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是()图818A25BC29DD由俯视图，可得该三棱锥底面外接圆的半径r，三棱锥的外接球的半径R，三棱锥的外接球的表面积S4R2.10(2017石家庄、唐山联考)已知三棱锥PABC的顶点都在同一个球面上(球O)，且PA2，PBPC，当三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是()A.BC.DA三棱锥PABC的三个侧面的面积之和为2sinAPB2sinAPCsinBPC，由于APB，APC，BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大，此时PA，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥PABC与该长方体有共同的外接球，故球O的半径r2，所以三棱锥PABC的体积与球O的体积的比值是.11从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP，则球的体积为()A.BC.DC设OP交平面ABC于O，由题得ABC和PAB为正三角形，所以OAABAP.因为AOPO，OAPA，所以，所以OA1，即球的半径为1，所以其体积为13.选C.12(2017开封模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，则该三棱柱的外接球的体积为()A.BC.D20B如图，设A1B1C1的外心为O1，ABC的外心为O2，连接O1O2，OB，O2B.由题意可得，球心O为O1O2的中点在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得，ABC外接圆的直径2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距离dOO2BB11，设直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为R，由球的截面的性质可得R2r2d212，所以球的体积为VR3.故选B.13(2017惠州模拟)已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于() 【导学号：07804062】A.BC.DC由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，正四面体的各棱长均为4，正四面体体积为42，没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则a2a，a2，设小球的半径为r，则422r，r，球的表面积S4.故选C.14(2017宁德三模)已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是()图819A.B2C.D3C设正ABC的中心为O1，连接O1A，O1O，O1E，OE(图略)，O1是正ABC的中心，A，B，C三点都在球面上，O1O平面ABC，球的半径R2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O1，RtO1OA中，O1A，又E为AB的中点，ABC是等边三角形，AEAO1cos 30.过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径r，可得截面面积为Sr2.故选C.二、填空题15(2017郑州二模)正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为_如图，四面体ABCD的所有棱均为正方体的面对角线，设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的棱长均为a，其表面积为4aa2a2，则.16(2017南昌一模)如图820，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_图820(3)根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为121212(3).17(2017武汉4月模拟)在四面体PABC中，PAPBPCBC1，则该四面体体积的最大值为_由题意知，PBC的面积为定值，如图，当PA垂直于平面PBC时，该四面体的体积最大，Vmax1.18(2017山东日照一模)现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_. 【导学号：07804063】设球的半径为R，正方体的棱长为a.由题意得当正方体体积最大时，a2R2，Ra，所得工件体积与原料体积之比的最大值为.19(2016宁夏银川一中月考)已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为_. 【导学号：07804064】a3法一：(直接法)如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1，所以O1Ha.所以VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.法二：(体积分割法)连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.20(2017江西五校联考)已知在三棱锥SABC中，SASBSC，BC6，若点A在侧面SBC内的射影恰是SBC的垂心，则三棱锥SABC的内切球的体积为_因为点A在侧面SBC内的射影恰是SBC的垂心，记为O，连接AO，SO(图略)，则AO平面SBC，SOBC，所以AOBC，又SOAOO，所以BC平面SAO，所以SABC，同理得SBAC，SCAB.记点S在平面ABC内的射影为O，连接SO，AO，BO，CO(图略)，则SO平面ABC，所以SOAC，又SBAC，SOSBS，所以AC平面SBO，BOAC，同理得AOBC，COAB，则点S在平面