高中数学 第一单元 基本初等函数（ⅱ）1_3_1 正弦函数的图象与性质（二）学案 新人教b版必修4

1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)的周期.3.掌握函数ysin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个_，使得定义域内的_值，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个_，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数ysin x是周期函数.思考2证明函数f(x)Asin(x)(A0)是周期函数.梳理由sin(x2k)_(kZ)知，ysin x是_函数，_是它的周期，且它的最小正周期是_.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是_函数，正弦曲线关于_对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)ysin(2x)(xR)；(2)y|sin x|(xR).反思与感悟对于形如函数yAsin(x)，A0时的最小正周期的求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)ysin；(2)y|sin 2x|.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x).反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f(x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x).类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f(x)cosx，求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 015)_.1.函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A. B. C.2 D.42.下列函数中，周期为的偶函数是()A.ysin x B.ysin 2xC.y|sin 2x| D.y3.设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数4.函数ysin(x)的最小正周期为2，则的值为_.5.若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f_.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T.2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说3是f(x)的周期思考2不是只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性思考3周期函数不一定存在最小正周期例如，对于常数函数f(x)c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期梳理(1)非零常数T每一个xf(xT)f(x)非零常数T(2)最小的正数知识点二思考1sin(x2)sin x，ysin x都是周期函数，且2就是它们的一个周期思考2由诱导公式一知，对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，即ff(x)，所以f(x)Asin(x)(0)是周期函数，就是它的一个周期梳理sin x周期2k (kZ且k0)2知识点三思考1正弦函数ysin x的图象关于原点对称思考2正弦函数是R上的奇函数根据诱导公式，得sin(x)sin x，对一切xR恒成立梳理奇原点题型探究例1解(1)令z2x，因为xR，所以zR.函数f(x)sin z的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，所以函数f(x)sin(xR)的最小正周期是.(2)因为y|sin x|(kZ)其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为.跟踪训练1解(1)T4.(2)T.例2解(1)显然xR，f(x)cos x，f(x)cos cos xf(x)，f(x)是偶函数(2)由得1sin x1.解得定义域为x|xR且xk，kZf(x)的定义域关于原点对称又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)，f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)f(x)为奇函数(3)1sin x0，sin x1，xR且x2k，kZ.定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin .f.跟踪训练3解因为f(x)是以为周期的奇函数，所以ffff1.例4解f(1)cos，f(2)cos，f(3)cos 1，f(4)cos，f(5)cos，f(6)cos 21，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.同理，可得每连续六项的和均为0.f(1)f(2)f(3)f(2 020)f(2 017)f(2 018)f(2 0