高中数学 第三章 不等式 3_2 均值不等式（一）学案 新人教b版必修51

3.2 均值不等式（一）学习目标1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？梳理一般地，对于正数a，b，为a，b的_平均值，为a，b的_平均值两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即.其几何意义如上图中的|PO|PQ|.知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式(a0，b0)?梳理(a0，b0)当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab()2(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)当ab0时，2；(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)类型一常见推论的证明例1证明不等式a2b22ab(a，bR)引申探究证明不等式()2(a，bR)反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a，bR，与均值不等式不同(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.反思与感悟在(1)的证明中把，分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则()Ax BxCx Dx反思与感悟均值不等式一端为和，一端为积，使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪训练3设ab1，P，Q，Rlg ，则P，Q，R的大小关系是()ARPQ BPQRCQPR DPRQ1已知a0，b0，则2的最小值是()A2 B2 C4 D52若0ab BbaCba Dba3设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4C2 D84设a0，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.其中恒成立的是_(填序号)1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解一方面，当ab时，；另一方面，当时，也有ab.2. 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式答案精析问题导学知识点一思考|PO|.易证RtAPQRtPBQ，那么|PQ|2|AQ|QB|，即|PQ|.梳理算术几何知识点二思考ab2()2()22()20，当且仅当ab时，等号成立，ab2，当且仅当ab时，等号成立题型探究类型一例1证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得()2，当且仅当ab时，取等号跟踪训练1证明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时，等号成立类型二例2证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立跟踪训练2证明a，b，c都是正实数，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时，等号成立类型三例3B第二年的产量为AAaA(1a)，第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2.依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x.跟踪训练3B当堂训练1C2.C3.B4.答案精析问题导学知识点一思考不等式x21的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集梳理(1)一元二次(3)集合知识点二思考x210yx21x210.梳理两相异实根x1，x2(x1x2)两相等实根x1x2x|xx2x|x1x0.方程x23x20的根x11，x22，原不等式的解集为x|x2题型探究类型一命题角度1例1解因为(4)24410，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解集为.跟踪训练1x|x或x2命题角度2例2解不等式可化为x22x30.因为0，方程x22x30无实数解，而yx22x3的图象开口向上，所以原不等式的解集是.跟踪训练2x|1x0，即2x23x10.由2x23x10，解得x1.bx2ax10的解集为.跟踪训练4解由题设条件知a0，且1,2是方程ax2bx20的两实根由根与系数的关系，知解得当堂训练1D2.B3.x|2x14解当a20，即a2时，原不等式为40，所以a2时