高考数学二轮复习 专题六 应用题教学案

专题六 应用题江苏新高考“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近二十年来的能力考查重点.江苏卷一直在坚持以建模为主.所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键.应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2013年应用考题(3)是解不等式模型，2014年应用考题(2)可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，2015、2016年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数求解.2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解.常考题型突破函数模型的构建及求解例1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连结O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)当0h2时，V0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故当h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大方法归纳解函数应用题的四步骤变式训练1(2017苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)L(x)16x2x643x(0x5)(2)法一：L(x)643x6767243.当且仅当3(x1)时，即x3时取等号故L(x)max43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4 300元. 法二：L(x)3，由L(x)0，得x3. 故当x(0,3)时，L(x)0，L(x)在(0,3)上单调递增；当x(3,5)时，L(x)0，L(x)在(3,5)上单调递减所以当x3时，L(x)取得极大值，也是最大值，故L(x)maxL(3)43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4 300元2(2017南通三模)如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路CDEF，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形设DEt百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建该参观线路的最低费用解：(1)法一：设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQl，DQQE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题意得，点E的坐标为， 设直线EF的方程为y1k(k0)，即kxy1tk0.因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为1，解得k.代入y1k可得，点F的坐标为. 所以EF，即EF(0t2)法二：设EF切圆O于点G，连结OG，过点E作EHAB，垂足为H.因为EHOG，OFGEFH，GOFHEF，所以RtEHFRtOGF，所以HFFGEFt.由EF21HF212, 所以EF(0t2)答：EF的长为百米(2)设修建该参观线路的费用为y万元当0t时，y55，由y50，得y在上单调递减所以当t时，y取最小值为32.5.当t2时，y12t，所以y12，因为t0，所以当t时，y0，所以y在上单调递减；在(1,2)上单调递增所以当t1时，y取最小值为24.5.由知，y取最小值为24.5.答：修建该参观线路的最低费用为24.5万元. 基本不等式的实际应用例2(2017南京考前模拟)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和. (1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q4.5)万元， 每件销售价为150%25%.年销售收入为Qx.年利润Wxxx16Qx16x(x0)(2)令x1t(t1)，则W16(t1)643t673.t1，24，即W55，当且仅当，即t8时，W有最大值55，此时x7.即当年广告费为7万元时，企业年利润最大，最大值为55万元方法归纳利用基本不等式求解实际应用题的注意点(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围对应函数的单调性求解变式训练(2017苏州期末)某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(如图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y(x2，2)，曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；(2)车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M(该点P与桥顶间的水平距离)(设计图纸上该点P处的切线的斜率)其中MP的单位：米若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？解：(1)由题意A为抛物线的顶点，设A(a,0)(a2)，则可设方程为y(xa)2(ax2，0)，y2(xa)曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y(x2,2)，y，且B(2,1)，则曲线在B处的切线斜率为，a6，曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y(x6)2(6x2)(2)设P为曲线段AC上任意一点P在曲线段AB上时，则通过该点所需要的爬坡能力(MP)1(x)(x6) (x3)29，在6，3上为增函数，3，2上是减函数，所以爬坡能力最大为米；P在曲线段BC上时，则通过该点所需要的爬坡能力(MP)2(x)(x2,0)，设tx2，t0,4，(MP)2y.当t0时，y0；当0t4时，y1(t4取等号)，此时最大为1米由上可得，最大爬坡能力为米0.81.52，游客踏乘不能顺利通过该桥，蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥.三角函数的实际应用例3(2017江苏高考)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm，容器的底面对角线AC的长为10 cm，容器的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度解(1)由正棱柱的定义知，CC1平面ABCD，所以平面A1ACC1平面ABCD，CC1AC.如图，记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处因为AC10，AM40，所以MC30，从而sinMAC.记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1AC，Q1为垂足，则P1Q1平面ABCD，故P1Q112，从而AP116.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm)(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心由正棱台的定义知，OO1平面EFGH，所以平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG.同理，平面E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处过G作GKE1G1，K为垂足，则GKOO132.因为EG14，E1G162，所以KG124，从而GG140.设EGG1，ENG，则sin sincosKGG1.因为，所以cos .在ENG中，由正弦定理可得，解得sin .因为0，所以cos .于是sinNEGsin()sin()sin cos cos sin .记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2EG，Q2为垂足，则P2Q2平面EFGH，故P2Q212，从而EP220.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)方法归纳解三角形应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解.解三角形应用题常见的两种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 变式训练如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2.课时达标训练1(2017苏锡常镇一模)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)，设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于的函数lf()；(2)当为何值时l最小？并求l的最小值解：(1)过D作DHBC于点H(图略)，则DCB，DHh, 设ADx，则DC，CH，BCx，因为Sh，则x.所以lf()2DCADh.答：l表示成关于的函数为lf()h.(2)f()hh，令f()h0，得.列表如下：f()0f()极小值所以lminfh.答：当时，l有最小值为h.2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120，OC1，ABOBOC，且OAOB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OAx，OBy.(1)求y关于x的函数解析式，并写出OA的取值范围；(2)求NM的最大值及相应的x的值解：(1)因为OAx，OBy，ABy1，由余弦定理得，x2y22xycos 120(y1)2，解得y.由x0，y0得，1x2，又xy，得x，得1x，所以OA的取值范围是.(2)设MkOBky，N4kSAOC3kx，则NMk(3xy)k.设2xt，则NMkkk(104)k.当且仅当4t，即t时取等号，此时x2，所以当x2时，NM的最大值是(104)k.3(2017南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600，故当a90时，b40，从而包装盒子的侧面积S2x(902x)2x(402x)8x2260x，x(0,20)因为S8x2260x8(x16.25)22 112.5，故当x16.25时，纸盒侧面积最大，最大值为2 112.5平方厘米(2)包装盒子的体积V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x，当且仅当ab60时等号成立设f(x)4x3240x23 600x，x(0,30)则f(x)12(x10)(x30)于是当0x10时，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上单调递增；当10x30时，f(x)0，所以f(x)在(10,30)上单调递减因此当x10时，f(x)有最大值f(10)16 000，此时ab60，x10.答：当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米4.(2017南通、泰州一调)如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1)当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由解：(1)当EFP时，由条件得EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC，所以四边形MNPE为矩形，且四边形MNPE的面积SPNMN2(m2). (2)法一：设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN26666262.当且仅当tan ，即tan ，时取“”此时，(*)成立答：当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2. 法二：设BEt m,3t6，则ME6t.因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN2662.当且仅当(t3)，即t33时取“”. 此时，(*)成立答：当点E距B点3 m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62)m2.5.(2017南京三模)在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC.(1)求BC的长(用含的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价解：(1)因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以ABAC.在ABC中，SABCABACsin 400，所以AC2 .由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 4AC22AC2 cos (42cos ) ，即BC 40.所