高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_1 曲线与方程（二）学案 北师大版选修2-1

4.1曲线与方程(二)学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 知识点一坐标法的思想思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？梳理(1)坐标法：借助于_，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：通过曲线研究方程：根据已知条件，求出_.通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究_.知识点二求曲线的方程的步骤类型一直接法求曲线的方程例1一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.引申探究若将本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.类型二代入法求解曲线的方程例2动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程.类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3过点M(1,2)的直线与曲线y(a0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)0和G(x，y)0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.跟踪训练3直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.1.曲线y与xy2的交点是()A.(1,1)B.(2,2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在2.方程x2y21(xy0).例2解设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21.所以P点的轨迹方程为(2x3)24y21.跟踪训练2解如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设ABC的外心为M(x，y)，作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线.|BC|2a，|BN|a，|MN|y|.又M是ABC的外心，MM|MA|MB|.而|MA|，|MB|，化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.例3解当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y2k(x1)(k0)，联立曲线方程，得消去x，得y2(2k)yka0.当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.(2k)24ka0.设方程的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1y22k.又y1y2a，k2a，代入0中，得a24a(2a)0，解得0a.又k0，2a0，即a2.a的取值范围是(0,2)(2，).跟踪训练3解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.点M应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分.解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故所求轨迹方程为(x)2y2(0x).当堂训练1.D2.D3.xy10(x0，x1)4.x5.解设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，所以230，即8x4y