高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3_1 双曲线及其标准方程学案 北师大版选修2-1

3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的_等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线._叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的_.(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的_(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的_.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是_.知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？思考2双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系式(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在_上；若y2项的系数为正，那么焦点在_上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0).判断：若2a2c|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c|F1F2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为双曲线；已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线；到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；若点P到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(3，1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.类型二待定系数法求双曲线的标准方程例3(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k2c)|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2ab0)1或1(a0，b0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续根据标准方程确定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，则a29，b24)以正负分a，b(如1中，40，9b0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：1写出具有类似特殊的性质，并加以证明.1.若双曲线E：1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.32.设F1，F2分别是双曲线x21的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A.4 B.8 C.24 D.483.已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_.4.已知双曲线2x2y2k(k0)的焦距为6，则k的值为_.5.已知双曲线1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是_.1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上.(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.2.求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0，b0).(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程叫作双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考2双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定.梳理(1)1(a0，b0)1(a0，b0)F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a2b2c2(2)x轴y轴(4)c2a2a2c2题型探究例1解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100，将代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.跟踪训练1解在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos .|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，|MF1|MF2|，SMF1F2|MF1|MF2|sin .例2(1)A(2)x21(x1)跟踪训练2例3解(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得双曲线的标准方程为1.(2)方法一设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线方程为1.方法二设双曲线方程为1(4k0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.例4证明如图所示，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，则在PF1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.sin .则在PF1F2中，对于椭圆有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos ，tan .跟踪训练4(1)解椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.(2)解类似的性质如下：若M，N为双曲线1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.其证明过程如下：设P(x，y)，M(m，n)，则N(