高中数学第二章数列2_2等差数列一课件新人教a版必修5

第二章 数 列 2.2 等差数列 (一) 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决 一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差 通常用字母d表示. 思考1 等差数列an的概念可用符号表示为 . 思考2 等差数列an的单调性与公差d的符号的关系. 等差数列an中，若公差d0，则数列an为 数列；若公差d0，则 数列an为 数列；若公差d0，则数列an为常数列. 答案 等差公差 an1and(nN*) 递增 递减 答案 等差中项 a1(n1)d 思考 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它 方法吗？如何操作？ 返回答案 答案 还可以用累加法，过程如下： a2a1d， a3a2d， a4a3d， anan1d(n2)， 将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)， ana1(n1)d(n2)， 当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*). 题型探究 重点突破 题型一 等差数列的概念 例1 (1)下列数列中，递增的等差数列有( ) 1,3,5,7,9；2,0，2,0，6,0， 解析答案 解析 等差数列有，其中递增的为，共3个，为常数列. C 解析答案反思与感悟 A (1)判断一个数列是不是等差数列，只需看an1an(n1)是不是一个与n 无关的常数. (2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列an的公差d是否大于 0. (3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可. 反思与感悟 解析答案 B (2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项 是_. 解析答案 即m，n的等差中项为6. 6 题型二 等差数列的通项公式及应用 例2 (1)若an是等差数列，a158，a6020，求a75. 解析答案 解 设an的公差为d. 解析答案 (2)已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列 的通项公式，并判断34是否为该数列的项 . 反思与感悟 反思与感悟 d0.故取a111，d5. an11(n1)(5)5n16. 即等差数列an的通项公式为an5n16. 令an34，即5n1634，得n10. 34是数列an的第10项. 在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的 问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方 程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知an为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式 ： (1)a35，a713； 解 设首项为a1，公差为d，则 ana1(n1)d1(n1)22n1. 解析答案 (2)前三项为a,2a1,3a. 题型三 等差数列的判定与证明 解析答案 (1)求证：数列bn为等差数列； 解析答案 an1(12an)an(2an11)， 数列bn是等差数列，且公差为4，首项为5. 数列bn是等差数列，且公差为4，首项为5. 解析答案反思与感悟 (2)试问a1a2是不是数列an中的项？如果是，是第几项； 如果不是， 请说明理由. 解 由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1. 即a1a2a11， a1a2是数列an中的项，且是第11项. 1.判定等差数列的方法： (1)定义法：an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)数列an是 等差数列. (2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列. (3)通项公式法：数列an的通项公式anpnq(p，q为常数)数列an为 等差数列. 反思与感悟 注意：通项公式法不能作为证明方法.若an1an为常数，则该常数为 等差数列an的公差；若an1ananan1(n2，nN*)成立，则无法 确定等差数列an的公差.若数列的前有限项成等差数列，则该数列未 必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项 不成等差数列即可. 2.已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构 造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式. 解析答案 跟踪训练3 在数列an中，a12，an1an2n1. (1)求证：数列an2n为等差数列； (2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式. 证明 (an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an 2n为等差数列，且公差d1. 解 由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1， 故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n. 解析答案返回 对等差数列的定义理解不深刻易错点 例4 若数列an的通项公式为an10lg 3n，求证：数列an为等差 数列. 误区警示 错解 因为an10lg 3n10nlg 3， 所以a110lg 3，a2102lg 3，a3103lg 3，所以a2a1lg 3，a3 a2lg 3，则a2a1a3a2，故数列an为等差数列. 错因分析 由数列的通项公式求出的a2a1a3a2仅能确保数列的前三 项成等差数列，不能保证数列是等差数列. 正解 因为an10lg 3n10nlg 3， 所以an110(n1)lg 3. 所以an1an10(n1)lg 3(10nlg 3)lg 3(nN*)，所以数列an为 等差数列. 误区警示 误区警示 数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的.若数列是等差数 列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数 列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是 等差数列.因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求 出的结果代入验证，以确保满足题设条件. 返回 当堂检测12345 1.已知等差数列13n，则公差d等于( ) A.1 B.3 C.3 D.n 解析 an13n，a12，a25， da2a13. C 解析答案 12345 2.下列命题：数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；数列a，a1，a 2，a3是公差为1的等差数列；等差数列的通项公式一定能写 成anknb的形式(k，b为常数)；数列2n1是等差数列.其中正确 命题的序号是( ) A. B. C. D. 解析 正确，中公差为2. C 解析答案 解析 公差da2a14， ana1(n1)d84(n1)(4)884n， 12345 3.在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an10的n为( ) A.21 B.22 C.23 D.24 B 解析答案 又nN*，n22. 12345 解析答案 4.若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有( ) |an|；an1an；panq(p，q为常数)；2ann. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 设anknb， 则an1ank，故为常数列，也是等差数列. panqp(knb)qpkn(pbq)， 故为等差数列， 2ann2(knb)n(2k1)n2b， 故为等差数列. 未必，如an2n4，则|an|的前4项为2,0,2,4，显然|an|不是等差数列. C 12345 解析答案 5等差数列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通项公式； (2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整 数，如0.90，2.62. 12345 解析答案 12345 课堂小结 1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列； (2)2an1anan2