数值分析试题及答案.doc

数值分析试题一、 填空题（2 02）1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2 位有效数字。2. 若f(x)=x7x31，则f20,21,22,23,24,25,26,27= 1 ， f20,21,22,23,24,25,26,27,28= 0 。3. 设，A_5 _，X_ 3_，AX_15_ _。4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=j(x)在有解区间满足 |j(x)| 1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。8. 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 r(B)1 。10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|0 。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。二、 判断题（101）1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AXb一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( )3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 则解线性方程组AXb的高斯塞德尔迭代法一定收敛。 ( )4、 样条插值一种分段插值。 ( )5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( )7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。 ( )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。 ( )10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( )三、 计算题（510）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：2、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f (xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：计算机数学基础(2)数值分析试题 一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x0.0a1a2an10s(a10)的绝对误差x*x( )(A) 0.510 s1t (B) 0.510 st (C) 0.510s1t (D) 0.510 st2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )(A) ， (B) (C) (D) 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 4. 等距二点的求导公式是( )(A) (B) (C) (D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp,yc分别为( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题3分，共15分)6. 设近似值x1,x2满足e(x1)=0.05，e(x2)=0.005，那么e(x1x2)= 7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间xk,xk+1上是 8. 牛顿科茨求积公式，则 .9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数j(x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值：，校正值：yk+1= 三、计算题(每小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组的X(3)取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数12. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分，计算过程保留4位小数14. 用牛顿法求的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数四、证明题(本题10分)15. 证明求常微分方程初值问题 在等距节点a=x0x1xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)其中h=xk+1xk(k=0,1,2,n1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案 一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分，共15分)6. 0.05x2+0.005x1 7. 3次多项式 8. ba 9. j(x)r1 10. yk+hf(xk1, ) 三、计算题(每小题15分，共60分)11. 写出迭代格式 X(0)=(0,0,0)T. 得到X(1)(2.5，3，3)T 得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T 得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T. 12. 计算均差列给出f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15 f(0,1,3,4,6)= f(4, 1, 3)=6 13. f(x)=,h=分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3 (9分) =1.414 2+3.162 3+2(1.600 8+1.802 8+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125(4.576 5+215.736 3)=4.506 1 14. 设x为所求，即求x2115=0的正根f(x)=x2115因为f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100115)20取x0=11有迭代公式xk+1=xk=(k=0,1,2,)x1=10.727 3x2=10.723 8x3=10.723 8x*10.723 8四、证明题(本题10分)15. 在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边关于x积分，得y(xk+1)y(xk)= 用求积梯形公式，有y(xk+1)y(xk)= 将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到y(xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,n1) 数值分析期末试题一、 填空题（分）（1)设 ，则_13_。（2)对于方程组 ，Jacobi迭代法的迭代矩阵是。（3)的相对误差约是的相对误差的倍。（4）求方程根的牛顿迭代公式是。（5）设，则差商 1 。（6）设矩阵G的特征值是，则矩阵G的谱半径。（7）已知，则条件数 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数充分大时,应将改写为。（9）个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次。（10）拟合三点，的水平直线是。二、 （10分）证明：方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为 的特征多项式为 的特征值为，故1，因而迭代法不收敛性。三、 （10分）定义内积试在中寻求对于的最佳平方逼近元素。解：，。法方程 解得，。所求的最佳平方逼近元素为 ，四、 （10分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解:， 法方程 的解为， 得到三次多项式误差平方和为 五. (10分) 依据如下函数值表012419233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算，并在假设下，估计计算误差。解:先计算插值基函数 所求Lagrange插值多项式为从而。据误差公式及假设得误差估计：六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组解 设 由矩阵乘法可求出和 解下三角方程组有，。再解上三角方程组得原方程组的解为，。 七. (10分) 试用Simpson公式计算积分的近似值,