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椭圆的定义及几何性质考点突破：圆锥曲线的定义及几何性质多以基础题为主，侧重基础知识的掌握和基本数学思想方法的灵活应用，难度不大。考查形式一是定义及基本性质为主的客观题，是容易题；二是以综合题的形式考查圆锥曲线的定义和性质，中档题。预计2015考查椭圆、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质，双曲线的的标准方程技几何性质较大。复习中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同时注意运算中的减负如设而不求，活用定义，妙用平面的几何性质等，勇于联想、探索、大胆实践，提升解题能力。题型一：椭圆的定义及其应用1、判断轨迹：例：已知是定点，动点M满足，且则点M的轨迹为（ ）A椭圆 B.直线 C.圆 D.线段分析：紧扣椭圆的定义。解：由题意得，且则所以点M的轨迹为线段。点评：求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形变式：1 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点若，则 【知识点】椭圆的定义解：因为+4a=20，所以=8.【思路点拨】在圆锥曲线中，当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时，注意应用其定义建立等量关系进行解答.2、利用定义例：已知椭圆1与双曲线y21的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，则cosF1PF2的值为()A. B. C. D. 审题视点 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求B因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|PF2|2 ，|PF1|PF2|2 .设|PF1|PF2|，解得|PF1|，|PF2|，由余弦定理得cosF1PF2.方法锦囊： 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离变式：1、(2011青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.审题视点 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用，进而得解解析由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29. b3.答案3方法总结： 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等2、 已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a，周长为4a4(F是椭圆的另外一个焦点)答案C3、已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D3解析：选A由椭圆定义，知AF1B的周长为4a16，故所求的第三边的长度为16106.4、已知F1，F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于两点，AF1B的内切圆的周长为，则为() 解析：选A由椭圆定义，知AF1B的周长为4a20，AF1B的面积为S，3、转化定义例：设椭圆1和双曲线x21的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值等于_解析：焦点坐标为(0，2)，由此得m24，故m6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2两式平方相减得4|PF1|PF2|43， |PF1|PF2|3.知识总结：要深刻理解椭圆的定义，其定义是由椭圆上得点到焦点的距离来刻画的，只要涉及椭圆上的点到焦点（定点）的距离时多考虑椭圆的定义。变式练习：1.已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7 C13 D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.2. 设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_解析：|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交3. 已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7 C13 D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.题型二:椭圆的标准方程和性质例：例1(1)(2013广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1 C.1 D.1(2)(2014岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_解： (1)由右焦点为F(1,0)，可知c1，因为离心率为，即，故a2，由a2b2c2，知b2a2c23，因此椭圆C的方程为1.(2)由ABF2的周长为4a16，得a4，又知离心率为，即，ca2，所以a216，b2a2c21688，所以椭圆C的方程为1.【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在x轴上”去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.综上可知C的方程为1或1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：由条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)，1(ab0)或mx2ny21(m0，n0)(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21(m0，n0)变式练习1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过A（3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程_解：法一：分类讨论焦点的位置求解。法二：设椭圆的方程为：.由题得：解得：所以椭圆的方程为：或2.(2012山东)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ()A.1 B.1 C.1 D.1解析：椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.点评：已知椭圆的性质求标准方程的步骤：一确定焦点位置即椭圆的方程的形式；二建立a,b,c的方程关系求其值；三写出标准方程。题型三：椭圆的重要性质-离心率椭圆离心率的求解是高考的一个热点，分离心率的值的求解和取值范围的求解。特别是离心率的取值范围的求解更是一个难点。1、离心率的值的求解求解时若方程给定分别求;若不知方程构建的齐次式两边同时除以得的方程，以此解。示例：如图A、B、C分别为1 (ab0)的顶点与焦点，若ABC=90，则该椭圆的离心率为()A.B1 C.1 D.解析：|AB|2a2b2，|BC|2b2c2，|AC|2(ac)2.ABC90，|AC|2|AB|2|BC|2，即(ac)2a22b2c2，2ac2b2，即b2ac.a2c2ac.1，即e1.解之得e，又e0，e.答案：A点评：求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率变式1把条件“A、B、C分别为1 (ab0)的顶点与焦点，若ABC=90“改为“F1、F2分别为椭圆，的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另 一点B.若F1AB=90”求椭圆的离心率；解：若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.2.把条件“A、B、C分别为1 (ab0)的顶点与焦点，若ABC=90”改为“椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，且ABAC1，椭圆的另一个焦点在AB上”，求椭圆的离心率为_解析：设另一个焦点为F，如图所示，|AB|AC|1，ABC为直角三角形，114a，则a，设|FA|x，x，124c2，c，e. 答案3.把条件“A、B、C分别为1 (ab0)的顶点与焦点，若ABC=90“改为“F1、F2分别为圆锥曲线的左、右焦点，曲线上存在点P使|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2 C.或2 D.或解：设|F1F2|2c(c0)，由已知|PF1|F1F2|PF2|432，得|PF1|c，|PF2|c，且|PF1|PF2|，若圆锥曲线为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c，离心率e；若圆锥曲线为双曲线，则2a|PF1|PF2|c，离心率e，故选A.4. 椭圆的左、右顶点分别是A，B左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 。【知识点】椭圆的基本性质；离心率.解：因为椭圆的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 【思路点拨】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率5. 已知椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为 ()A. B. C. D.解：选B由题得a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，得e，又因为e0，故所求的椭圆的离心率为.6. 设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.解析：选D在RtPF2F1中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|.所以e.7. 已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B. C. D.解析：在ABF中，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF，|AF|21006412836，|AF|6，从而|AB|2|AF|2|BF|2，则AFBF.c|OF|AB|5，利用椭圆的对称性，设F为右焦点，则|BF|AF|6，2a|BF|BF|14，a7.因此椭圆的离心率e.8. 椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：如图，MF1F2中，MF1F260，MF2F130，F1MF290，又|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|c，2a|MF1|MF2|cc，得e1.2、离心率的取值范围的求解解题的关键在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.示例：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；解： 设将代入得 求得 .点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.变式1.把条件“椭圆上存在点使”改为“满足的点M总在椭圆内部”则椭圆离心率的取值范围是（ ） A(0,1) B(0， C(0，) D，1)解析：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，,M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2a2c2.e2，0e.答案：C2.将条件“椭圆上存在点使”改为 “椭圆上存在P满足且有且只有两个这样的点求离心率的值？若这样的点有且只有四个呢？解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，,当这样的点有两个时M点在椭圆的短轴端点上即 当这样的点有四个时则即所以3.把条件“椭圆上存在点使”改为“在椭圆上存在点P，满足”则椭圆的离心率的取值范围为( )。解：|PF1|=5|PF2|,|PF1|+|PF2|=6|PF2|=，|PF2|，|PF1|，所以所以，故椭圆离心率的取值范围为.4.把条件“椭圆上存在点使”改为“在椭圆上存在点P，满足F1PF260”.求椭圆离心率的范围？解：设椭圆方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理可知，. ，5. 已知椭圆x2my21的离心率e，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C在椭圆x2my21中，当0m1时，a2，b21，c2a2b21，e21m，又e1，1m1，解得0m1时，a21，b2，c21，e21，又e1，1，综上可知实数m的取值范围是.点评：在解题学习课或试卷讲评课的教学过程中，利用此类变式问题可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力、探究创新的能力以及灵活多变的思维能力。解题策略：1. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：由上述判断设方程1(ab0)，1(ab0)或mx2ny21(m0，n0)(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21(m0，n0)2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系2求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围巩固提高1. 已知点F1，F2分别是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2解：设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值为2.2 椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是 ()A， B，C(，1) D，1)解析设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则1(cx，y)，2(cx，y)，1