高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2 抛物线的简单性质（二）学案 北师大版选修1-1

2.2抛物线的简单性质(二)学习目标1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点直线与抛物线的位置关系思考1直线与抛物线有哪几种位置关系？思考2若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？梳理直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有_个公共点；当b0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率类型三抛物线中的定点(定值)问题例3在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点反思与感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值1过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条C2条 D1条2若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A. B.C. D.3已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D324设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上任意一点，若4，则点A的坐标为_5已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程；(3)求弦AB的长求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化答案精析问题导学知识点思考1三种：相离、相切、相交思考2不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点梳理两一没有平行或重合一题型探究例1解由方程组消去y得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)(1)若直线与抛物线有两个交点，则k20且0，即k20且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)所以当k(1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点(2)若直线与抛物线有一个交点，则k20或当k20时，0，解得k0或k1.所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k1时，直线l和抛物线C无交点跟踪训练1C准线方程为x2，Q(2,0)设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)；当k0时，由0，得1k0或00.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，适合式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2| .方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直线的斜率k3，故所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2| .跟踪训练2解(1)由C1方程可知F(0,1)，F也是椭圆C2的一个焦点，a2b21，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图像都关于y轴对称，易得C1与C2的公共点的坐标为(，)，1，又a2b21，a29，b28，C2的方程为1；(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，与同向，且|AC|BD|，x1x2x3x4，(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4，设直线l的斜率为k，则l的方程：ykx1，由可得x24kx40，由根与系数的关系可得x1x24k，x1x24，由得(98k2)x216kx640，由根与系数的关系可得x3x4，x3x4，又(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4，16(k21)，化简得16(k21)，(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.例3解(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24.所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.因为x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2,0)跟踪训练3证明方法一设kABk(k0)直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，即直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC.kBC.直线BC的斜率为定值方法二设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC.kAB，kAC，由题意得kABkAC，则y1y24，则kBC，为定值当堂训练1B2.A3.B4.(1，2)5解(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以1，p2，所以所求抛物线的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22.由得，(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所