高中数学 2_3 变换的复合与矩阵的乘法 2_3_2 矩阵乘法的简单性质教学案 苏教版选修4-2

23.2矩阵乘法的简单性质1矩阵的乘法只具有结合律，即(AB)CA(BC)，不满足交换律和消去律，即ABBA，若ABAC，则一般情况下BC.2二阶矩阵的幂Mn矩阵乘法的性质例1(1)设A，B，验证：若ABBA，则(AB)2A2B2；(2)求证：当ABBA时，(AB)2A2B2，(其中A、B均为二阶矩阵)思路点拨(1)利用矩阵乘法法则直接验证；(2)依据条件，利用矩阵的乘法具有结合律进行验证精解详析(1)AB ，BA ，ABBA.A2 ，B2 ，A2B2 .又(AB)2 ，(AB)2A2B2.故若ABBA，则(AB)2A2B2.(2)ABBA，(AB)2(AB)(AB)A(BA)BA(AB)B(AA)(BB)A2B2.(1)矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律(2)根据矩阵乘法满足结合律可知，多个矩阵相乘时，无论先进行哪两个相邻矩阵的乘积均不影响最终结果1计算 .解：原式 .2设A，B，C，求A(BC)和(AB)C，并判断它们是否满足结合律解：因为BC ，AB ，所以A(BC) ，(AB)C .显然，有A(BC)(AB)C.因此满足结合律.二阶矩阵的幂运算例2设A，求A2，A3，猜想An(nN*)并证明你的猜想思路点拨先利用矩阵乘法法则求A2、A3，猜想An，然后用数学归纳法证明精解详析A2 ，A3A2A ，猜想An其中nN*，n2.下面用数学归纳法证之：(1)当n2时，由以上计算可知猜想成立(2)假设nk时猜想成立，即Ak.当nk1时，Ak1AkA ，故nk1时猜想也成立由(1)和(2)可知，对任意nN*(n2)，都有An.求矩阵具体数幂的运算可依据Mn求解若求矩阵一般字母幂的运算可利用数学归纳法求之3计算4.解：4 .4已知A，求A2，A3，并据此猜想An(n2，nN*)，并加以证明解：A2 .A3A2A .据此猜想An.下面用数学归纳法证明：(1)由以上可知当n2时，猜想成立(2)假设nk(k2)时，猜想成立即Ak.当nk1时，Ak1AkA .即nk1时，命题也成立由(1)(2)可知对一切n2，nN*都有An.1已知A，B，C，计算AB，AC.解：AB ，AC .2已知矩阵A，求A4，A5，A9.解：因为A2 ，所以A4A2A2 ，A5AA4 .A9A4A5 .3求使等式M成立的二阶矩阵M.解：设M，则M .a1，b2，c3，d5.M.4(1)构造两个矩阵A，B，使它们不满足ABBA；(2)构造两个矩阵A，B(A，B均不为零矩阵)，使AB成立；(3)构造一个矩阵A(A既不是零矩阵，也不是单位矩阵)，使A2A成立；(4)构造一个矩阵B(B不是零矩阵)，使得B2成立解：(1)如A，B；(2)如A，B；(3)如A；(4)如B.5设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足M，试求二阶矩阵M.解：由题意得 ，令A，则 A2.A4，MA4.A2 ，MA4(A2)2 .6设M，求Mn(nN*)解：M2 .M3MM2 .由此猜想Mn.下面用数学归纳法证明(1)n1时显然成立(2)假设nk(k1，kN*)时成立，即k.则当nk1时，Mk1MMk .故nk1时也成立n为正整数时，结论都成立故Mn(nN*)7矩阵M，N，向量.(1)验证：(MN)M(N)；(2)验证这两个矩阵不满足：MNNM.证明：(1)因为MN ，所以(MN) .因为N ，所以M(N) .故(MN)M(N)(2)因为NM ，又MN，所以MNNM.8求满足A2A的一切的二阶矩阵解：设A，A2A，.a2bcaabbdbaccdcbcd2d由得(cd1)b0，(ad1)c0.(1)当ad10时，由得a，由得d.故A如下或其中b、c为任意实数且bc.(2)当ad10时，则c0且b0，再由得a0或1，d0或1，但又由ad10，ad0或ad1.此时有A或A.故满足A2A的二阶方阵为或及或(其中b、c为任