函数最值的几种求法.doc

函数最值的几种求法新课程标准中,高中数学知识更加丰富,层次性更强,和高等教育的结合更加紧密.要想较好的完成新课标的教学任务,必须从整体上把握课程标准,运用主线知识将高中数学知识穿成串,连成片,织成网,才有利于学生更好的掌握,而函数的最值问题在整个高中教材中显得非常重要,为了能系统的学好这方面的知识,本文总结归纳出八种求函数最值的常见方法.一 由定义域直接求函数的最值一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系,即若y是x的函数,则由x的取值范围,并且根据一次函数的单调性,就能得到y的最大(小)值.例1 变量,均不小于0,并满足及,求函数的最大值与最小值.解 由及得,及.又由,均不小于0,推出.再将与代入得,它是单调递增函数,而.所以,当时,有最小值;当时,有最大值.二 用配方法求函数的最值1对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况,即二次函数.当时,有最小值,即当时,;当时,有最大值,即当时,.例2 设.求和.解 由得,.又因 ,所以 当时,有最小值;当时,有最大值.例3 设在区间上最小值为,求的最大值. 解 对关于配方得,.由已知得,当时,;当时,;当时,.因此,当时,的最大值为;当时,且的最大值为;当时,的最大值为.三 用判别式法（也称法）求最值判别式法就是利用二次方程有实数根的充要条件来求出函数的最值.除了二次函数,对于一些常见的含有根号的无理函数,也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的法来求最值,或如果一个问题中,诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式,便可运用判别式来求最,但要注意函数的定义域对函数的制约作用.例42 求函数的最值, 以及函数取最值时的取值.解 显然.等式两边平方有 ,移项再平方整理得 ,又由 ,得 ,又因为 并且得 ,所以 .于是 当时,;当时,四 换元法就是通过换元把一个复杂的函数变为简单函数.这种题的特征是函数的解析式中含有根式.当根式为一次式时, 用代数换元（直接换元）;当根式是二次式时,用三角换元.例5 用换元法求函数的最大值（无最小值）.解 令,.所以 .于是 当,即时,.例6 用三角换元法求函数的最值.解 令,则.所以,原函数变为 .又因为,故,所以,当,即,时, 取得最小值;当,时,取得最大值.五 利用不等式求函数的最值基本不等式:是求函数的最值问题的重要工具.但要注意取得最值的条件“一正, 二定, 三相等”3.并合理的进行拆分和配凑,灵活变形使得问题简捷从而获解.例7 求函数的最大值.解 ,而(注意,)当且仅当,即时,有最小值2.所以,当时,原函数有最大值.六 利用导数求闭区间上连续函数的最值利用导数研究函数的性质尤其是函数的最值问题是强有力的手段.连续函数在闭区间上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出的所有极值点(驻点和导数不存在的点);(2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值4.例8 求函数在闭区间上的最值.解 对原函数关于求导数可得,.令,(舍去).再计算端点和导数为0点（驻点）处的函数值得, ,.所以,当时,原函数有最小值,当时,原函数有最大值.七 数形结合法求函数的最值当要求的解析式明显具备某种几何意义时,如两点间的距离公式,直线斜率,直线在坐标轴上的截距等等.可以利用数形结合来求它的最值.例95 求函数的最大值和最小值.解 因为,现令.则易知表示一定点A（2,0）与单位圆上的动点连线的斜率的大小.如（图1）.对于L1有: ,对于L2有:,所以,当 时,;当时, . （图1） （图2）例10 例4解法二.解 令,则原函数可化为 .此时原问题转化为曲线与直线有公共点时,在轴上截距的最值.如(图2).显然可得,当直线过（,0）点,即时,在轴上的截距取得最小值;当直线与曲线相切,即(因为曲线上任一点切线斜率为,要使直线与曲线相切则 ,即,所以由得,.于是,)时, 在轴上的截距取得最大值. 八 构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重性.用向量法解决代数问题的关键是善于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,构造合适的向量,把原有问题转化为向量问题求解,它是一种重要的数学思维方法.例11 在上,求函数的最值.解 令向量,则|,.令向量与的夹角为,再令,则.如(图3),向量的终点落在以原点为心,为半径的圆周上,因为的幅角为.故两向量的夹角,所以. 从而 ,其中, ,故. (图3) 所以,当时,即,其解为或（取正值,因为）, 即当时,;当时,即（即向量与共线）,其解为(取正值,因为),亦即当时, .总结:通过以上几种函数最值求法的总结归纳,可以对一些有关的题目进行解答,尤其是一些综合性强的题目,可以达到事半功倍的作用.函数是中学数学的主要内容.几乎可以用函数为纲,把中学数学各方面内容有机结合起来,许多数学综合题,可以转化为函数的问题进