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文档简介
【本讲教育信息】一. 教学内容:几个著名的不等式 二、本周教学目标:1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点2、会用参数配方法证明柯西不等式,体会构造方程解决数学问题的思想3、能将基本不等式推广到一般形式4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用,体会不等式与其它知识及现实世界的联系。三、本周知识要点:定理1:设a,b,c,d均为实数,则当且仅当时等号成立。定理2:(柯西不等式的向量形式)设,是平面上的两个向量,则 当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立定理3:(柯西不等式的一般形式)给定两组实数;有,(*)当且仅当时等号成立。证明:(1)若全为0,则结论显然成立;(2)若不全为0,则,为首项系数大于0的一元二次函数,并且,故的判别式,即显然,当且仅当时等号成立。定理4:设为任意实数,则这个不等式通常称为三角形不等式定理5:n个正数的算术几何平均不等式: 其中,称为这n个正数的算术平均,称为这n个正数的几何平均这个不等式通常称为算术几何平均不等式,它表明:n个正数的算术平均不小于它们的几何平均【典型例题】例1. 设a,b,c为正数,且abc1,求证:证明:左边 证:原不等式等价于 证:设,则 根据三角不等式,即得例4. 把一条长为m的绳子截成三段,各围成一个正方形怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小?解:设三段的长度各为x,y,z则xyzm三个正方形的面积和为因为当且仅当xy时等号成立,所以有最小值,从而S有最小值例5. 已知x0,当x取什么值时,x2的值最小?最小值是多少?分析:注意到x2是和的形式,再看x281为定值,从而可求和的最小值解:x0x20,0,x2218,当且仅当x2,即x3时取“”号故x3时,x2的值最小,其最小值是18【模拟试题】1. 已知3xy10,则为( ) A. B. 10 C. 1 D. 1002. 若n0,则的最小值为_3. 已知a,b,c是正实数,且abc1,则的最小值为( )A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 已知,求
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