高中数学 第一章 导数及其应用 1_5 定积分的概念（第2课时）课堂探究 新人教a版选修2-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2探究一 利用定义计算定积分用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的左端点或右端点，求和时要注意一些求和公式的灵活运用【典型例题1】利用定积分的定义，计算(x22)dx.解：把区间0,1分成n等份，分别为，小区间的长度为x，取i(i1,2，n)，作和(i)x(2i2)x222.因为x，当x0时，n，所以(x22)dx(i)x 2.探究二 利用定积分的几何意义求定积分由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当f(x)0时，f(x)dx等于由直线xa，xb，y0与曲线yf(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义(2)计算f(x)dx时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边xa，xb，y0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)0时，f(x)dxS；当f(x)0时，f(x)dxS.【典型例题2】说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)2dx；(2)xdx；(3)dx.思路分析：利用定积分的几何意义表示出相应图形，图形的面积即为定积分的值解：(1)2dx表示的是图(1)中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx2.图(1)图(2)图(3)(2)xdx表示的是图(2)中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx.(3)dx表示的是图(3)中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx.探究三 利用定积分的性质求定积分利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性质计算【典型例题3】(1)计算(x3)dx的值；(2)已知f(x)求f(x)在区间0,5上的定积分思路分析：可先根据定积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算解：(1)如图，由定积分的几何意义，得dx，x3dx0.由定积分的性质，得(x3)dxdxx3dx.(2)如图，由定积分的几何意义，得=22=2，(4x)dx(12)1，dx211，f(x)dxxdx(4x)dxdx21.探究四 易错辨析易错点：对定积分的几何意义理解有误【典型例题4】已知f(x)在区间a，b上的图象如图所示，则阴影部分的面积S为()Af(x)dxBf(x)dxf(x)dxCf(x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx错解：A或B或C错因分析：对定积分的几何意义理解不够透彻，定积分的几何意义是在x轴上半部分计算的面积取正值，在x轴下半部分计算的面积取负值，即若f(x)0，在a，b上的面积Sf(x)dx.若f(x)0，则在a，b上的面积Sf(x)dx.正解：在a，c上，f(x)0，在a，c上的阴影部分的面积Sf(x)dx.又在c，b上，f(x)0，在c，b上阴影部分的面积Sf(x)dx.在区间a，b上的阴影部分的面积