中考数学 第一部分 中考基础复习 第四章 图形的认识 第3讲 四边形与多边形 第2课时 特殊的平行四边形复习课件

第2课时 特殊的平行四边形 1.理解矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间 的关系. 2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四 个角都是直角，对角线相等.菱形的四条边相等，对角线互相垂 直，正方形具有矩形和菱形的一切性质.以及它们的判定定理： 三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩 形，四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 知识点内容 特殊平 行四边 形的性 质 四边 形 边角对角线对称性 矩形对边 平行 且相等 四个角都是 直角 对角线相等且互 相平分 轴对 称， 中心对称 菱形对边 平行 ，四边相等 对角相等， 邻角互补 对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对 角 轴对 称， 中心对称 正方形 对边 平行 ，四边相等 四个角都是 直角 对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对 角 轴对 称， 中心对称 知识点内容 特殊平 行四边 形的判 定 矩形 (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)两条对角线相等且互相平分 菱形 (1)有一组邻边 相等的平行四边形； (2)四边相等的四边形； (3)对角线互相垂直的平行四边形 正方形 (1)有一组邻边 相等的矩形； (2)有一个角是直角的菱形； (3)对角线相等且互相垂直平分的四边形 (续表) 知识点内容 特殊平 行四边 形之间 的关系 及相互 转化 特殊平 行四边 形的面 积计 算 平行四 边形 平行四边形面积底高 矩形矩形面积长宽 菱形 正方形 (续表) 菱形的性质与判定 例1：(2015年贵州贵阳)如图4 3 22，在RtABC中， ACB90，D 为 AB 的中点，且 AECD， CEAB. (1)证明：四边形 ADCE 是菱形； (2)若B60，BC6，求菱形 ADCE 的高.(计算结果保留根号)图 4-3-22 思路分析(1)先证明四边形ADCE 是平行四边形，再证出 一组邻边相等，即可得出结论. (2)过点D 作DFCE，垂足为点F 先证明.BCD 是等边三 角形，得出BDCBCD60，CDBC6，再由平行线 的性质得出DCEBDC60，在 RtCDF 中，由三角 函数求出DF 即可. 证明：(1)AECD，CEAB， 四边形 ADCE 是平行四边形. 又ACB90，D 是 AB 的中点， 平行四边形 ADCE 是菱形. (2)过点D 作DFCE，垂足为点F，如图4-3-23，DF 即为 菱形 ADCE 的高. B60，CDBD，BCD 是 等边三角形. BDCBCD60，CDBC6. 图 4-3-23CEAB，DCEBDC60. 又CDBC6， 【试题精选】 1.(2016 年山东滨州)如图 4-3-24，BD 是ABC 的角平分线， 它的垂直平分线分别交 AB，BD，BC 于点 E，F，G，连接 ED， DG.请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由. 图 4-3-24 解：(1)四边形 EBGD 是菱形. 理由如下：EG 垂直平分 BD， EBED，GBGD. EBDEDB. EBDDBC，EDFGBF. 在EFD 和GFB 中， EFDGFB. EDBG.BEEDDGGB.四边形 EBGD 是菱形. 2.(2016 年贵州安顺)如图4-3-25，在ABCD 中，BC2AB 4，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点. (1)求证：ABECDF； (2)当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积. 图 4-3-25 ABBEAE，即ABE为等边三角形. 名师点评菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、 直线平行、垂直等，常与三角形全等、勾股定理、方程相结合 进行相关问题的计算与证明. 矩形的性质与判定 例 2：(2015 年四川内江)如图4-3-26，将ABCD 的边 AB 延长至点 E，使 ABBE，连接 DE，EC，BD，DE 交 BC 于点 O. (1)求证：ABDBEC； (2)若BOD2A，求证：四边形 BECD 是矩形. 图 4-3-26 思路分析(1) 根据平行四边形的判定与性质得到四边 形 BECD 为平行四边形，然后由SSS 推出两三角形全等即可. (2)欲证明四边形BECD 是矩形，只需证明BCED 即可. 证明：(1)在平行四边形ABCD 中，ADBC，ABCD， ABCD，则 BECD. 又ABBE，BEDC. 四边形 BECD 为平行四边形.BDEC. 在ABD 与BEC 中， ABDBEC(SSS). (2)由(1)知，四边形BECD 为平行四边形，则ODOE， OCOB. 四边形ABCD 为平行四边形， ABCD，即AOCD. 又BOD2A，BODOCDODC， OCDODC.OCOD. OCOBODOE，即 BCED. 平行四边形BECD 为矩形. 【试题精选】 3.(2016 年黑龙江龙东)如图 4-3-27，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DEAD，连接 EB，EC，DB，请你 添加一个条件_，使四边形 DBCE 是矩形. 图 4-3-27 答案：EBDC(答案不唯一) 4.(2015 年山东聊城)如图 4-3-28，在ABC 中，ABBC， BD 平分ABC.四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于点 F， 连接 CE. 求证：四边形 BECD 是矩形. 图 4-3-28 证明：ABBC，BD 平分ABC，BDAC，ADCD. 四边形 ABED 是平行四边形， BEAD，BEAD.BECD，BECD. 四边形 BECD 是平行四边形. BDAC，BDC90. 四边形 BECD 是矩形. 名师点评矩形的四个角为直角，常将矩形转化为直角三 角形；矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这些思路及 矩形性质是证明线段、角相等以及线段平行、垂直的重要依据. 正方形的性质与判定 例 3：如图 4-3-29，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，且 CECD，过点 E 作 EFAC，交 AD 于点 F，连接 BE. (1)求证：DFAE； (2)当AB2时，求BE2的值. 图 4-3-29 (1)证明：如图4-3-30，连接CF. 在 RtCDF 和 RtCEF 中， RtCDFRtCEF(HL). 图 4-3-30 DFEF. AC 是正方形 ABCD 的对角线， EAF45.AEF 是等腰直角三角形. AEEF.DFAE. 【试题精选】 5.(2016 年贵州毕节)如图4-3-31，正方形ABCD 的边长为 9， 将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH. )若 BEEC21，则线段 CH 的长是( 图 4-3-31 A.3B.4C.5D.6 答案：B 解题技巧与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全 等、勾股定理、方程、三角函数相联系，有关正方形的判定方 法较多，一般在矩形、菱形的基础上，从边、角、对角线三个 方向进一步分析、判断与证明. 1.(2015 年广东)如图4-3-32，菱形 ABCD 的边长为 6， ABC 60，则对角线 AC 的长是_. 图 4-3-32 答案：6 2.(2016 年广东)如图 4-3-33，正方形 ABCD 的面积为 1，则 )以相邻两边中点连接 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为( 图 4-3-33 答案：B 3.(2015 年广东)如图 4-3-34，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG. 求证：ABGAFG. 图 4-3-34 解：(1)在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，D BC90. 将ADE 沿 AE 对折至AFE， ADAF，DEEF，DAFE90. ABAF，BAFG90. 在 RtABG 和 RtAFG 中， ABGAFG(HL). 4.(2012 年广东)如图 4-3-35，在矩形纸片 ABCD 中，AB6， BC8.把BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC 交 AD 于点 G.E，F 分别是 CD 和 BD 上的点，线段 EF 交 AD 于点 H，把FDE 沿 EF 折叠，使点 D 落在 D处，点 D恰 好与点 A 重合