高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法同步练习 北师大版选修

高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数 D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数答案：D思路分析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有全为奇数,恰有一个偶数,恰有两个偶数,全为偶数.2.用反证法证明命题中,得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )命题已知 数学定义 定理、公理 推理、演算的规律A. B. C. D.答案：D思路分析：全是矛盾可能产生的原因.3.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是( )A.假设是有理数 .假设是有理数C.假设或是有理数 D.假设+是有理数答案：D思路分析：根据反证法的基本步骤加以判断.4.已知a0,求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案：证明：假设方程ax=b(a0)至少存在一个实根不妨设其中的实根分别为x1,x2,且x1x2则ax1=b,ax2=b,ax1=ax2,ax1-ax2=0，a(x1-x2)=0.又x1x2,x1-x20,所以a=0,这与已知a0矛盾,故假设不成立,原命题成立.思路分析：证明有且只有的问题,可考虑使用反证法加以证明.5.证明:1,2不能为同一等差数列的三项.答案：证明：假设1,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=-md,2=+nd,(m,n为两正整数).由上面两式消去d得n+2m=(n+m) .因为n+2m为有理数,而(n+m)为无理数,所以n+2m(n+m) .因此假设不成立.1,2不能为同一等差数列的三项.思路分析：通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.综合应用6.假设p、q都是奇数,求证:关于x的方程x2pxq0无整数根.答案：证明:假设方程有整数根,无论是奇数还是偶数,都必有2pq为奇数,这与2pq0矛盾.故方程无整数根.思路分析：此题中含有否定词“无”,可考虑用反证法.7.如图所示,已知直线a与b不共面,直线ca=M,直线bc=N,又a平面=A,b平面=B,c平面=C,求证:A、B、C三点不共线.答案：证明:假设A、B、C三点共线于直线l,A、B、C,l.cl=C,c与l可确定一个平面.ca=M,M,又Al,a,同理b,直线a与b共面.这与已知矛盾.A、B、C三点不共线.思路分析：此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法，利用平面知识易证.8.已知函数f(x)=(a1).证明方程f(x)=0没有负数根.答案：证明:设存在x00(x0-1)满足f(x0)=0,则ax0=,0ax01,01,即x02,与假设x00矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.思路分析：应根据题目的特征和要求选择证明方法,本题用反证法入手较为容易,先假定存在x00(x0-1)满足f(x0)=0,然后推得结果与假设x00矛盾.9.若0x,y,z2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.答案：证法一:假设x(2-y)1,且y(2-z)1,且z(2-x)1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)1由于0x2,0x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+11.同理:0y(2-y)1,且0z(2-z)1.三式相乘得:0xyz(2-x)(2-y)(2-z)1.与矛盾,故假设不成立.x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.证法二:假设x(2-y)1,且y(2-z)1,且z(2-x)1.+3.而+=3.与矛盾,故假设不成立.原题设结论成立.思路分析：“不都大于1”