高中数学 第三章 推理与证明 3_1_2 类比推理知识导航 北师大版选修1-21

1.2 类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为_.2.类比推理是两类事物_之间的推理.3.利用类比推理得出的结论_（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对_、_、_进行类比.5._和_是最常见的_，_是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑 合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？ 剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列an，其中a10=0，则有a1+a2+an=a1+a2+a19-n(1n19)，一个等比数列bn，其中b15=1,类比等差数列an有下列结论：_.分析:在等差数列an中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列bn中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:在等差数列an中，a10=0,a1+a19=a2+a18=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+an+1=0,a18-n+an+2=0,a17-n+an+3=0,a1+a2+an=a1+a2+an+an+1+an+2+a19-n.b15=1,b1b29=b2b28=b14b16=1,即b29-nbn+1=b28-nbn+2=b14b16=1.有b1b2bn=b1b2b29-n(1n29,nN+).绿色通道 本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比.变式训练1.已知等差数列an，公差为d,前n项和为Sn，有如下性质：（1）通项an=am+(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、qN+,则am+an=ap+aq.(3)若m+n=2p,m、n、pN+，则am+an=2ap.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.类比得出等比数列的性质.解:等比数列bn,公比为q,前n项和Sn,有如下性质:(1)通项an=amqn-m.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、qN+,则aman=apaq.(3)若m+n=2p,q、m、nN+,则aman=ap2.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.【例2】若射线OM、ON上分别存在点M1、M2与N1、N2，则三角形面积之比为. 若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上，分别存在点P1、P2，点Q1、Q2，点R1、R2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:=，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P1Q1、Q1R1、P1R1、P2Q2、Q2R2、P2R2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP与面QRO所成的角为.OP在面ORQ内的射影为OP，P1、P2的射影分别为P1、P2，则=sin，且.类似地有.绿色通道 要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.变式训练2.三角形的面积为S=(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式.解:V=(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4分别为四个面的面积,r为内切球半径),设ABC的三边与O分别切于D、E、F,则ODBC,OEAC,OFAB且OD=OE=OF=r.连结OA、OB、OC,则SABC=SOAB+SOAC+SOBC=cr+br+ar=(a+b+c)r.类似地,三棱锥PABC的内切球为球O,半径为r,则球心O到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则VPABC=VOABC+VOPBC+VOPAC+VOPAB=S1r+S2r+S3r+S4r=(S1+S2+S3+S4)r.【例3】若a1、a2R+，则有不等式()2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n次又怎样变化呢？注意思维要发散开.解:第一种类型：()2，()2，()2.第二种类型：()3，()4，()n.第三种类型：()3，()n.绿色通道 像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广横向推广；第二种类型是从指数上进行推广纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广.变式训练3.设f(x)(xa,b)满足f()(其中x1、x2为a,b上任意两点)，你能将此不等式推广吗？解:设在a,b上任意n个点x1,x2,x3,xn,则f().【例4】设F1、F2分别为椭圆C：+=1(ab0)的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1,）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线=1具有类似特性的性质并加以证明.分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.解:（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此+=1,b2=3.c2=a2-b2=1.椭圆C的方程为+=1,焦点F1（-1，0），F2（1，0）.(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1)，线段F1K的中点Q（x,y）满足x=,y=,x1=2x+1,y1=2y.+=1,即（x+）2+=1为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m,n），则点N的坐标为（-m,-n），其中=1.又设点P的坐标为（x,y），由kPM=,kPN=,得kPMkPN=.将y2=x2-b2,n2=m2-b2,代入得kPMkPN=.绿色通道 类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法.变式训练4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可