高中数学 第一章 计数原理单元质量评估 新人教a版选修

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第一章 计数原理单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某小组有8名男生,6名女生,从中任选男生和女生各1名去参加座谈会,则不同的选法有()A.48种B.24种C.14种D.12种【解析】选A.男生有8种选法,女生有6种选法,共有86=48种选法.2.(2017银川高二检测)某市有甲、乙、丙、丁四个某种品牌的牛奶代理商,某天早上送货员小张从工厂出发依次送货至各个代理处,然后再回到工厂,小张的不同的送货方式共有()A.12种B.16种C.20种D.24种【解析】选D.由题意知,该问题属于排列问题,所以不同的送货方式共有=24种.3.从0,1,2,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是()A.100个B.90个C.81个D.72个【解析】选C.要使点不在x轴上,则纵坐标不能为0,故纵坐标上的数字只能有9种选择,纵坐标选好后,因任取两个不同数字,所以横坐标不能与之相同.故也有9种选择,由分步乘法计数原理得,N=99=81(个).【补偿训练】设直线方程为Ax+By=0,从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A,B的值,则所得不同直线的条数为()A.20B.19C.18D.16【解析】选C.确定直线只需依次确定A,B的值即可,先确定A有5种取法,再确定B有4种取法,由分步乘法计数原理得54=20,但x+2y=0与2x+4y=0,2x+y=0与4x+2y=0表示相同的直线,应减去,所以不同直线的条数为20-2=18.4.设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是()A.10B.40C.50D.80【解析】选C.展开式中xk的系数为25-k,所以不可能为50.5.(2017全国卷)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80【解析】选C.由二项式定理可得,原式展开式中含x3y3的项为:x(2x)2(-y)3+y(2x)3(-y)2=-40x3y3+80x3y3=40x3y3,故展开式中x3y3的系数为40.6.的展开式中的常数项为()A.12B.-12C.6D.-6【解析】选A.展开式中的通项公式为Tr+1=x6-2r(-2)rx-r=(-2)rx6-3r,令6-3r=0,求得r=2,故展开式中的常数项为43=12.7.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn中,若2a2+an-5=0,则自然数n的值是()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.a2=,an-5=(-1)n-5=(-1)n-5,所以2+(-1)n-5=0.所以=-1,所以(n-2)(n-3)(n-4)=120且n-5为奇数,所以n=8.8.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有()A.80种B.90种C.120种D.150种【解题指南】先根据分到各学校的教师人数分类,再根据去各学校教师人数将教师分成三组,然后将这三组教师全排列即可.【解析】选D.有两类情况:第一类其中一所学校3名教师,另两所学校各一名教师的分法有=60种.第二类其中一所学校1名教师,另两所学校各两名教师的分法有=90种,所以共有150种.9.(2017双鸭山高二检测)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有()A.24种B.48种C.96种D.144种【解析】选C.因为由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步,所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有=2种结果,因为程序B和C实施时必须相邻,所以把B和C看作一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有=48种结果,根据分步乘法计数原理知共有248=96种结果.10.将标号为1,2,10的10个球放入标号为1,2,10的10个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数有()A.120B.240C.360D.720【解析】选B.首先确定3个球,有种方法,要求与其所在盒子的标号不一致有2种放法,故共有2=240种方法.11.(2017南昌高二检测)某领导人会议上,某五国领导人A,B,C,D,E除B与E,D与E不单独会晤外,其他领导人两两之间都要单独会晤,现安排他们在两天的上午,下午单独会晤(每人每个半天最多进行一次会晤)那么安排他们单独会晤的不同方法共有()A.48种B.36种C.24种D.8种【解析】选A.五国领导人单独会晤的有AB,AC,AD,AE,BC,BD,CD,CE共八场,现将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行,每个半天安排两场会晤同时进行,能同时会晤的共有(AB,CD),(AC,BD),(AD,CE),(AE,BC)和(AB,CE),(AC,BD), (AD,BC),(AE,CD)两种情况,故不同的安排方案共有2=48(种).12.(2017重庆高二检测)若二项式(2+x)10按(2+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10的方式展开,则展开式中a8的值为()A.90B.180C.360D.405【解析】选D.由题意得,(2+x)10=(-2-x)10=-3+(1-x)10,所以展开式的第9项为T9=(-3)2(1-x)8=405(1-x)8,即a8=405.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻的两个顶点之一.若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共_种.【解析】青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点,故青蛙的跳法只有下列两类.第一类,青蛙跳3次到达D点,有ABCD,AFED,共2种跳法.第二类,青蛙跳5次后停止,那么,前3次的跳法一定不能到达D,只能到达B或F,则共有AFEF,ABAF,AFAF,ABCB,ABAB,AFAB,共6种跳法,而后2次跳法各有4种,例如,由点F出发的有FEF,FED,FAF,FAB,共4种跳法,因此共有64=24(种)跳法.因此共有24+2=26(种)不同跳法.答案:2614.已知=,则x=_.【解析】由题意得x=3x-8或x+3x-8=28,解得x=4或9.答案:4或915.(2017烟台高二检测)的二项展开式中x项的系数为_.(用数字作答)【解析】展开式通项为Tr+1=()5-r=(-1)r,令=1,r=1,所以x项的系数为(-1)1=-5.答案:-516.在直角坐标系xOy中,已知AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数是_.【解析】因为2x+3y=30,所以令x=0得y=10;令y=0得x=15,所以A(0,10),B(15,0).将AOB补成一个矩形,则OB边上的整数有16个,OA边上的整数有11个,对角线AB上的整数点有6个,从而AOB内部和边上整点的总数为+3=91.答案:91三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017石家庄高二检测)已知f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n.(1)求a2的值.(2)求a1+a2+a3+an的值.【解析】(1)由二项式的系数和为512知2n=512,所以n=9.(2x-3)9=2(x-1)-19,所以a2=22(-1)7=-144.(2)令x=1,得a0=(21-3)9=-1,令x=2,得a0+a1+a2+a3+a9=(22-3)9=1.所以a1+a2+a3+a9=(a0+a1+a2+a9)-a0=2.【补偿训练】已知(1-2x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+a13x13+a14x14.(1)求a0+a1+a2+a14.(2)求a1+a3+a5+a13.【解析】(1)令x=1,则a0+a1+a2+a14=27=128.(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+-a13+a14=67.-得2(a1+a3+a5+a13)=27-67=-279808.所以a1+a3+a5+a13=-139904.18.(12分)(2017沈阳高二检测)已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?【解析】(1)先排前4次测试,只能取正品,有种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有=种测法,再排余下4件的测试位置有种测法.所以共有不同排法=103680种.(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法()=576种.19.(12分)已知(-)n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和.(2)求展开式中含的项.(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.【解析】由题意可知,第5项系数为:(-2)4,第3项系数为(-2)2.所以(-2)4=10(-2)2,所以n=8.(1)令x=1得各项系数的和为:(1-2)8=1.(2)通项为:Tk+1=()8-k=(-2)k,令-2k=,所以k=1.所以展开式中含的项为T2=-16.(3)设第k+1项的系数绝对值最大,所以解得5k6.所以系数最大的项为T7=1792,由n=8知第5项二项式系数最大.T5=1120.20.(12分)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组,到4辆公共汽车里售票,如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况.(1)有几种不同的分配方法?(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员,有几种不同的分配方法?(3)男售票员和女售票员分别分组,有几种不同的分配方法?【解析】(1)男女合在一起共有8人,每个车上2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一辆车,共有种,再安排第二辆车共有种,再安排第三辆车共有种,最后安排第四辆车共有种,这样不同的分配方法有=2520(种).(2)要求男女各1人,因此先把男售票员安排上车,共有种不同方法,同理,女售票员也有种方法,由分步乘法计数原理,男女各1人的不同分配方法为=576(种).(3)男女分别分组,4位男售票员平分成两组共有=3种不同分法,4位女售票员平分成两组也有=3种不同分法,这样分组方法就有33=9(种),对于其中每一种分法又有种上车方法,因而不同的分配方法有9=216(种).21.(12分)已知等比数列an,首项a1是的展开式中的常数项,公比q=,且x1.(1)求Sn=a1+a2+an.(2)求S1+S2+Sn.【解析】(1)Tk+1=()5-k=,令-2k=0,所以k=1,所以a1=5=1.由m=4,所以q=x.因为x1.所以Sn=a1+a2+an=a1=1=.(2)S1+S2+S3+Sn=+=(+)-x+x2+x3+xn=(2n-1)-(1+x+x2+x3+xn-1)=2n-(1+x)n=.22.(12分)(2017鹤岗高二检测)用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数,分别有多少个?0不在个位;1与2相邻;1与2不相邻;0与1之间恰有两个数;1不在个位;偶数数字从左向右从小到大排列.【解析】0不在个位,也不在首位,所以这两个位置就从其他5个元素选2个排列,剩下的位置不再受限,所以就全排列,有=480种方法;1和2相邻,所以捆绑,看成一个复合元素共种方法,首位不能是0,所以首位就有种方法,其他全排列,有=192种方法;采用间接法,所有的六位数减1与2相邻的结果,就是所有的六位数,减第二问的结果,有-=408种方法;分两种情况,是(0*