高中数学 第一章 计数原理 1_3 组合优化训练 苏教版选修2-31

1.3 组合五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )由1，2，3，4构成的2个元素集合 五个队进行单循环比赛的分组情况 由1，2，3组成两位数的不同方法数 由1，2，3组成无重复数字的两位数A. B. C. D.答案:C解析：由组合的定义可得是组合问题.2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机至少各有1台，则不同的取法共有( )A.140种 B.84种 C.70种 D.35种答案:C解析：甲型与乙型电视机至少各有1台，共有=70.3.男女学生共有8人，从男生中选2人，且从女生中选1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人答案:A解析：设女生x人，则男生有(8-x)人,=30,解得x=2或3.4.计算=_.答案:165解析：,原式=165.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.的值为（ ）A.-1 B. C.-1 D.答案:A解析：观察得各项为形式,由=,得原式=-1.2.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为( )A.20 B.30 C.60 D.120答案:A解析：分两步:任取2对球与盒子号相同有种;对剩下3球投放有2种.故共有2=20种投放方法.3.从甲单位的3人和乙单位的2人中选出3人参加一项联合调查工作,要求这3人中两个单位的人都要有,则不同的选法种数为( )A.9 B.10 C.18 D.20答案:A解析：由题意,甲单位选1人乙单位选2人或甲单位选2人乙单位选1人,即=9.4.8人坐成一排，现要调换3人的位置，其余5人位置不动，共有_种换法.答案:112解析：先定出哪3人的位置调换，再定出这3人位置调换的方法，有2=112(种).5.已知=,则n=_,r=_.答案:7 4解析：r+r-1=n2r-1=n,.化简求得6.马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中三只路灯熄掉，但不能同时熄掉相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灯方法有多少种？解：问题等价于七只亮着的路灯产生的8个空位中放入三只熄掉的路灯，故有=56(种).30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.同时满足下列两个条件的非空集合S，(1)S1，2，3，4，5;(2)若aS,则6-aS，那么S的个数是( )A.4 B.5 C.7 D.31答案:C解析：由条件知，1、5必须同时选或不选，2、4必须同时选或不选，故只需研究1，2，3有几个非空子集即可，则=7.2.已知直线ax+by-1=0(a,b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点,且公共点的横,纵坐标均为整数,那么这样的直线共有（ ）A.66条 B.72条 C.74条 D.78条答案:B解析：在圆周上横坐标和纵坐标都为整数的点有(1,7),(5,5),(7,1)共12个点,任意两个点的连线共=66条,其中有6条过原点,不满足题意;另外过12个点各有一条切线,所以共有-6+12=72.故选B.3.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法共有( )A.1 260种 B.2 025种C.2 520种 D.5 040种答案:C解析：分三步:第一步,从10人中选派2人承担任务，甲有种选派方法;第二步,从余下的8人中选派1人承担乙，有种选派方法;第三步,再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有种选法,根据分步计数原理知选派方法种数共有=2 520种.4.将20个笔记本分给15个学生,每个学生至少分得一个笔记本,则有不同分法的种数为( )A. B. C. D.答案:C解析：将20个笔记本在桌子上一本接一本地排成一行,然后用14块小木板插入19个间隙中,就把笔记本分成了15份,故有种分配方法.5.某文艺团体下基层进行宣传演出,原准备的节目表有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,在它们之间再插入2个小品节目,并且这2个小品节目在节目表中既不排头,也不排尾,那么不同的插入方法有( )A.20种 B.30种 C.42种 D.56种答案:B解析：由题意知,将第一个小品节目插入节目单中,有种插法.将第二个小品节目插入节目单中,有种插法,则共有=30种安排方法.6.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位,百位上的数字之积作为十位,个位上的数字(如2 816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0,千位,百位上都得取0,这样设计出来的密码共有( )A.90个 B.99个 C.100个 D.112个答案:C解析：千位上数字的取法,百位上数字的取法,共有设计方案=100种,也即有100个密码.7.空间有10个点,其中有5个点共面(除此之外再无4点共面),以每4个点为顶点作一四面体,一共可作_个四面体.(用数字作答)答案:205解析：-=205个.8.一个口袋中有10个小球,其编号为1,2,3,10,从中任取5个球.(1)至少有一个奇数号球的取法有多少种?(2)至少奇数号球和偶数号球各2个的取法有多少种?(3)取出的球的最大号数与最小号数之差为7,这样的取法有多少种?解:(1)间接法:10个球任取5个球的取法有种方法,其中没有一个奇数号球的取法为种方法,所以至少有一个奇数号球的取法为-=-1种.(2)分两类:2个奇数号球,3个偶数号球的取法有种;3个奇数号球,2个偶数号球的取法有种,所以取法种数为+=200.(3)满足要求的5个球中最大号数与最小号数共有3种情况:1与8,2与9,3与10.每种情况的取法均为种,所以取法种数均为3=60.9.由正方体的8个顶点和中心可组成多少个四面体？解：在正方体的顶点和中心共9个点中，其中仅四点共面的情况共6种，5点共面情况共有6种，所以组成四面体的个数为-6-6=90.10.在一次棋类比赛中,要进行单循环赛,其中有3人,他们各比赛了两场后,因故退出了比赛,因此这次比赛共进行了50场,问开始参赛的人有多少?解:设3名选手之间比赛了x场,那么3名选手与其余选手比赛了6-2x场,其余的(n-3)名选手之间每两名选手恰好比赛1场,共比赛场.因