高中数学 第一章 导数及其应用 1_3_2 利用导数研究函数的极值（一）学案 新人教b版选修2-2

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散1.3.2利用导数研究函数的极值(一)明目标、知重点1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件1极值点与极值已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小f(x0)并把x0称为函数f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点2求函数f(x)极值的方法第1步求导数f(x)；第2步求方程f(x)0的所有实数根；第3步考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值情境导学在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一函数的极值与导数的关系思考1如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.小结思考1中点d叫做函数yf(x)的极小值点，f(d)叫做函数yf(x)的极小值；点e叫做函数yf(x)的极大值点，f(e)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值思考2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个思考3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)的符号不同例如，函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但由于当x0时均有f(x)0，所以x0不是函数f(x)x3的极值点例1求函数f(x)x34x4的极值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)0，得x2；由f(x)0，得2x时，y0；当x0.此函数无极值(2)令yx|x|0，则x0，且y当x0时，yx2是单调增函数；当x0时，y2x，y0无解，当x0时，y2x，y0也无解，函数yx|x|没有极值(3)当x2时，有y(x2).当x2时，y不存在，因此，y在x2处不可导但在点x2处的左右附近y均存在，当x0；当x2时，f(x)0时，令f(x)0，即3x(x)0，解得0x，故函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0，即3x(x)0，解得x0，故函数f(x)的单调递增区间为(，0)(2)由(1)知，a3,4时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)和(，)所以f(x)极大值f()b，f(x)极小值f(0)b.由于对任意a3,4，函数f(x)在R上都有三个零点，所以即解得b恒成立，所以b()max4.所以实数b的取值范围为(4,0)反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪训练3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根1“可导函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立故选B.2.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点答案C解析f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca2 Da6答案D解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a0，a1.5直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_答案2a2解析f(x)3x23.令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2a2.呈重点、现规律1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)