高中数学 第三章 导数及其应用 3_4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修1-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散3.4 导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程类型一几何中的最值问题命题角度1平面几何中的最值问题例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将S表示为的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ cm3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2费用(用料)最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练4某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为(56048x)元为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)1在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为yt3t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时2用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_ m3.3某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是_4要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元5某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用提醒：完成作业第3章3.4答案精析知识梳理知识点1优化问题3数学建模题型探究例1解(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)则SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当变化时，S，S的变化情况如下表：(0，)(，)S0S极大值所以，当时，S取得最大值为Smax3 750 m2，此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.跟踪训练1解设点B的坐标为(x,0)，且0x2，f(x)4xx2图象的对称轴为x2，点C的坐标为(4x,0)，BC42x，BAf(x)4xx2.矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3，y1624x6x22(3x212x8)，令y0，解得x2，0x2，x2.当0x0，函数单调递增；当2x2时，y0，函数单调递减，当x2时，矩形的面积有最大值.例2解(1)由题意知，包装盒的底面边长为x cm，高为(30x)cm，所以包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)8()28225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x30.所以当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.跟踪训练2例3解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)当00；当x(9,10时，W10时，W98(2.7x)982 38，当且仅当2.7x，即x时，W取得最大值38.综合知，当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元答当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元跟踪训练3解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大例4解(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(x舍去)，当0x5时，f(x)0；当5x0，故x5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元跟踪训练4解设该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)56048x56048x，x10，f(x)48，令f(x)0，得x15.当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0.所以当x15时，f(x)取得最小值，即f(15)2 000.答为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15层当堂训练182.83.3004.1605解(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知条件，得24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(1)，f(x)18x2252x4