高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案 新人教a版选修

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第二讲 直线与圆的位置关系对应学生用书P35近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等题目难度不大，以容易题为主对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：到某定点的距离都相等；如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等1(湖南高考)如图，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BDCDADDE，即()22r1，解得r.答案：2.(新课标全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明：(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.3(新课标全国卷)如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA 90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由BDBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.对应学生用书P35圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质例1已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆证明连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC180.因为四边形ABFE内接于圆，所以BAEF180.所以AEFC.所以C、D、E、F四点共圆例2如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于()A120B136C144 D150解析由圆内接四边形性质知ADCE，而BCDECD32，且BCDECD180，ECD72.又由圆周角定理知BOD2A144.答案C直线与圆相切直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意例3如图，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.(1)求证：PB是O的切线；(2)已知PA，BC1，求O的半径解(1)证明：如图，连接OB.OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA，即PAOPBO.又PA是O的切线，PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O半径，PB是O的切线(2)连接OP，交AB于点D.如图PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上OP垂直平分线段AB.PAOPDA90.又APOOPA，APODPA.AP2PODP.又ODBC，PO(POOD)AP2.即PO2PO()2，解得PO2.在RtAPO中，OA1，即O的半径为1.与圆有关的比例线段圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论例4如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，求DE的长解设CBADx，则由割线定理得：CACDCBCE，即4(4x)x(x10)，化简得x26x160，解得x2或x8(舍去)，即CD6，CE12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以CBA90，即ABE90，则由圆的内接四边形对角互补，得D90，则CD2DE2CE2，所以62DE2122，所以DE6.例5ABC中，ABAC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是O的切线交AC于M(如图)求证：DC2ACCM.证明连接AD、OD.AB是直径，ADBC.OAOD，BADODA.又ABAC，ADBC，BADCAD.则CADODA，ODAC.DM是O切线，ODDM.则DMAC，DC2ACCM.对应学生用书P43(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有()A2个锐角和2个钝角 B1个锐角和3个钝角C1个钝角和3个锐角 D都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角答案：A2.如图，在O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，DAE80，则ACD的度数是()A60 B50C45 D30解析：BCDDAE80，在RtABC中，B90，ABAC，ACB30.ACD803050.答案：B3如图所示，在半径为2 cm的O内有长为2 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角AOB为()A60 B90C120 D150解析：作OCAB于C，则BC，在RtBOC中cos B.B30.BOC60.AOB120.答案：C4.如图，已知O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB8，CEED49，则圆心到弦CD的距离为()A. B.C. D.解析：过O作OHCD，连接OD，则DHCD，由相交弦定理知，AEBECEDE.设CE4x，则DE9x，444x9x，解得x，OH .答案：A5.如图，PA切O于A，PBC是O的割线，且PBBC，PA3，那么BC的长为()A. B2C3 D3解析：根据切割线定理PA2PBPC，所以(3)22PB2.所以PB3BC.答案：C6两个同心圆的半径分别为3 cm和6 cm，作大圆的弦MN6 cm，则MN与小圆的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定解析：作OAMN于A.连接OM.则MAMN3.在RtOMA中，OA3(cm)MN与小圆相切答案：A7.如图，PAB，PDC是O的割线，连接AD，BC，若PDPB14，AD2，则BC的长是()A4 B5C6 D8解析：由四边形ABCD为O的内接四边形可得PADC，PDAB.PADPCB.又AD2，BC8.答案：D8已知O的两条弦AB，CD交于点P，若PA8 cm，PB18 cm，则CD的长的最小值为()A25 cm B24 cmC20 cm D12 cm解析：设CDa cm，CD被P分成的两段中一段长x cm，另一段长为(ax) cm.则x(ax)818，即818()2a2.所以a2576242，即a24.当且仅当xax，即xa12时等号成立所以CD的长的最小值为24 cm.答案：B9如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB10，tan BAC，则阴影部分的面积为()A. B.24C24 D.24解析：AB为直径，ACB90，tan BAC，sin BAC.又sin BAC，AB10，BC106.ACBC68，S阴影S半圆SABC528624.答案：B10在RtABC中，ACB90，以A为圆心、AC为半径的圆交AB于F，交BA的延长线于E，CDAB于D，给出四个等式：BC2BFBA；CD2ADAB；CD2DFDE；BFBEBDBA.其中能够成立的有()A0个 B2个C3个 D4个解析：不正确，由相交弦定理知正确，又由BC2BEBF，BC2BDBA，得BEBFBDBA，故正确答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把正确答案填写在题中的横线上)11四边形ABCD内接于O，若BOD120，OB1，则BAD_，BCD_，的长_.解析：BADBOD60，BCD180BAD120，由圆的半径OB1，BOD，的长为.答案：6012012(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.解析：由相交弦定理可知ED2AEEB155，又易知EBD与FED相似，得DFDBED25.答案：513.如图，O为ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与O切于点D，E，F，C90，AD3，O的半径为2，则BC_.解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.OEOD，CDCE，OEBC，ODAC，四边形OECD是正方形设BFx，则BEx.ADAF3，CDCE2，(2x)225(x3)2，解得x10，BC12.答案：1214如图，AB为O的直径，CB切O于B，CD切O于D，交AB的延长线于E，若EA1，ED2，则BC_.解析：CE为O的切线，D为切点，ED2EAEB.又EA1，ED2，得EB4，又CB、CD均为O的切线，CDCB.在RtEBC中，设BCx，则ECx2.由勾股定理得EB2BC2EC2.42x2(x2)2，得x3，BC3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图，设AB为O的任一条不与直线l垂直的直径，P是O与l的公共点，ACl，BDl，垂足分别为C，D，且PCPD，求证：(1)l是O的切线；(2)PB平分ABD.证明：(1)连接OP，因为ACl，BDl，所以ACBD.又OAOB，PCPD，所以OPBD，从而OPl.因为P在O上，所以l是O的切线(2)连接AP，因为l是O的切线，所以BPDBAP.又BPDPBD90，BAPPBA90，所以PBAPBD，即PB平分ABD.16(本小题满分12分)(2012辽宁高考)如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.证明：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，ACAE.17.(本小题满分12分)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)证明：AC2BFBMAB2.证明：(1)连接AM，则AMB90.ABCD，AEF90.AMBAEF180，即A，E，F，M四点共圆(2)连接CB，由A，E，F，M四点共圆，得BFBMBEBA.在RtACB中，BC2BEBA，AC2CB2AB2，AC2BFBMAB2.18(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DB