数学与应用数学专业精品毕业论文构造辅助函数在微积分学中的应用

目 录中文摘要1英文摘要1引言21构造辅助函数在连续函数性质证明中的应用211连续函数相关性质及其证明212利用零点定理构造辅助函数解题42构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用521微分中值定理及其证明522 利用微分中值定理构造辅助函数解题93构造辅助函数在积分中值定理证明中的应用1031积分中值定理及其证明1032 应用积分中值定理构造辅助函数解题124构造辅助函数在证明不等式中个应用145总结1651构造辅助函数的原则总结1652构造辅助函数的方法总结17结束语17参考文献18摘 要构造辅助函数法是微积分学中 ，通过构造辅助函数对连续函数性质及一元微积分中的一些定理的证明以及运用这些定理构造辅助函数证明一些不等式，探讨构造辅助函数解题时的一些原则和方法关键词：构造辅助函数；连续函数；一元微积分；定理；不等式 AbstractConstructing an auxiliary function is an important method in Calculus By constructing an auxiliary function can prove some characters of continuous function and some theorems of Calculus with Single Variable, and use these theorems can prove some inequalities Explore some Principles and Methods of constructing auxiliary functionKeywords: Constructing auxiliary function；Continuous function；Calculus with Single Variable；Theorems；Inequalities引言构造辅助函数思想是数学的一种重要的思想方法在数学中具有广泛的应用它属于数学思想方法中的构造法所谓构造法，就是根据件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法它具有两个显著的特性：直观性和可行性，正是这两个特性，在数学应用中经常运用它构造法的特点是化复杂为简单、化抽象为直观构造法思想的核心是根据题设条件的特征恰当构造一种新的形式本文将从以下四个方面来对选取和构造辅助函数作出讨论：1、构造辅助函数在连续函数相关性质证明的应用；2、构造辅助函数在证明微分中值定理中的应用；3、构造辅助函数在证明积分中值定理中的应用；4、构造辅助函数在证明不等式中的应用最后根据以上四个方面中的应用总结构造辅助函数的一些原则、方法及注意事项1构造辅助函数在连续函数性质证明中的应用11连续函数相关性质及其证明定理111（最值存在定理）若函数在闭区间上连续，则它在上一定有最大值和最小值，即存在和，对于一切，成立定理112（最值存在定理的推广）若函数在开区间上连续，且与都为有限值，则（1）若存在，使，则在内能取到最大值（2）若存在，使，则在内能取到最小值证明 （1）将在闭区间上作连续开拓，做辅助函数 ,则是上的连续函数，所以在上可取得最大值，因为存在，使，故最大值点不可能是a或b不妨设最大值为，则若，则也是在上的最大值，故是在内的最大值点若，则由题设知,是在内的最大值点综上可知，在内能取到最大值同理，可证明（2）将最值定理进一步推广把开区间推广到（-+）上即：定理113（最值存在定理再推广）若函数在（-+）上连续，且与都为有限值，则（1）若存在（-+），使，则在（-+）内能取到最大值（2）若存在（-+），使，则在（-+）内能取到最小值证明此定理，可以利用定理2的结论构造辅助函数，其中是到（-+）的映射，满足，这样的定义域是,只要连续，就有连续这样就可以利用定理2的结论来证明了定理114（零点存在定理）若函数在闭区间上连续，且，则一定存在，使定理115（介值定理）若函数在闭区间上连续，则它一定能娶到最大值和最小值之间的任何一个值证明 由最值存在定理，存在，使得，不妨设,对任意一个中间值C,考察辅助函数因为在上连续，所以在闭区间上连续，而且有，由零点存在定理，必有，使得即如图1所示，函数在区间上的图像为图中的曲线，移动轴，使之与图形相交，很容易发现，零点存在定理是介质定理的一个特例.以零点存在定理为基础，推导介值定理时，就是用这种几何直观法构造了辅助函数： 图112利用零点定理构造辅助函数解题例1 设在上连续，证明 对任意的正数有 证明 构造辅助函数，因为在上连续，所以在上连续，且若，我们取或，结论显然成立若，则根据零点定理，有，所以有例2 设函数在上连续，且，证明存在点，使得证明 构造辅助函数，由于函数在上连续，故在上连续，于是在上连续且，（1）若，则，均是使得成立的（2）若，则，由零点存在定理可知：存在使得，即综上，由（1）（2）知，结论成立2构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用21微分中值定理及其证明定理211（费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导若点为的极值点，则必有定理212（达布定理）若函数在上可导，且，为介于，之间任意实数，则至少存在一点，使得注 在用费马定理推导达布定理（导函数的介值定理），构造辅助函数跟证明连续函数介值定理类似 图2定理213（罗尔中值定理）若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3），则在内至少存在一点，使得 定理214（拉格朗日中值定理）若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得,；或，分析 如图2所示， ，是曲线在点C处的斜率，因此拉格朗日中值定理的几何意义是：连续光滑曲线的弧上至少有一点C，使曲线在该点处的切线平行于割线.显然，罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形，想到用罗尔定理来证明拉格朗日定理. 图3连接A,B两点的直线方程为因为曲线和直线在和两点重合若令辅助函数为曲线和直线的纵坐标之差，即显然有证明 引进辅助函数容易验证在上满足罗尔定理的条件，且由罗尔定理知，在内至少存在一点，使=0，即，；或，显然上述定理结论对于ba也成立上式也叫做拉格朗日中值公式注 罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广而罗尔定理推广到拉格朗日中值定理时，把“倾斜的”弦拉成“水平的”，如图2所示，这是用了几何直观法构造辅助函数，不仅可以直观地构造所需的辅助函数，而且对深入理解有关概念大有用处，对解题有所启迪利用这种方法我们同样可以构造证明柯西中值定理所需要的辅助函数这里就不多说明，下面我们用另一种构造辅助函数的方法证明柯西中值定理定理215（柯西中值定理）若函数，满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，且；则在内至少存在一点，使得，分析 由题设知，因为在上满足拉格朗日定理的条件，且，所以，而所要证的，也可写作-等价于-+C ，所以我们可以作辅助函数=-（这里取C=0）由于罗尔定理的结论是“导数等于0”，将命题的结论化简变形，凑出满足罗尔定理条件的原函数作为辅助函数，这是构造辅助函数方法中的凑原函数法证明：作辅助函数 =-容易验证在上满足罗尔定理的条件：在上连续，在上可导，且，又由罗尔定理可知，在内至少存在一点，使，即-，即，22 利用微分中值定理构造辅助函数解题例3 设函数是可导，证明：的任何两个零点之间必有一个零点证明 构造辅助函数，又设是的两个零点，即而，由于函数是可导，于是函数连续，所以在闭区间满足罗尔定理条件，从而存在，使得由于，所以，这蕴含着注 上面例题是从要证明的结论出发，分析出了原函数的形式，构造辅助函数，又利用罗尔定理解题的例4 设在二阶可导，且，求证：存在满足分析 解方程 ，即，于是辅助函数为证明 构造辅助函数，显然另外，由于在二阶可导， 且，于是在上满足罗尔定理条件，从而存在，使得当然，所以在上满足罗尔定理条件，存在，使得由于所以整理得到3构造辅助函数在积分中值定理证明中的应用31积分中值定理及其证明定理311（积分第一中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得 证明 构造辅助函数， 由拉格朗日定理知，存在，使得 是一个积分上限函数，是的一个原函数，即则又，则式就可以写作即命题得证定理312（推广的积分中值定理）若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得分析 定理311是定理312的特殊形式，即定理312在当时，即为定理311定理312的证明与311的证明类似证明 构造辅助函数，由柯西中值定理得，存在，使得 都是积分上限函数，则有，还有，所以式可以写作即结论得证注 以上两个定理的证明，都是运用了积分上限函数构造辅助函数，在应用相应的微分中值定理得以证明的另外，积分中值定理的证明，还使我们容易看出微分中值定理与积分中值定理相统一之处32 应用积分中值定理构造辅助函数解题例5 设在上连续，在内可导，且，证明必存在一点，使得证明 将结论变形为：作辅助函数：由积分中值定理知，由罗尔定理知 ，使得即,即例6 设在上连续，证明：至少存在一点，使得证明 构造辅助函数，则，所以在上满足罗尔定理条件，即存在，使得因为，所以，即4构造辅助函数在证明不等式中个应用例7 求证 当0时， 证明 作辅助函数，因为0，所以 0又因为在处连续，所以在上是增函数，从而，当0时，0，即成立注 从例7可以看出，在证明这样一类不等式时，先是将原不等式移项，使一端变为0，再构造辅助函数，证明在相应的区间内的最大值或最小值为零，再移项便得所证例8 证明不等式 分析 利用差式构造辅助函数，则将要证明的结论转化为要证，而，因而只要证明证明 构造辅助函数，易知在上连续，且有，所以 在上严格单调增加，所以由单调性定义可知，即所以例9 设在上连续，且单调递增，试证明分析 可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数变为变数，利用差式构造辅助函数：，则要证证明 设辅助函数显然对， 因为单调递增，则，则单调递增，所以即注 无论用什么方法来证明不等式，关键是要根据所证不等式的特征来构建一个辅助函数与相关定理联系，因此，构建辅助函数好比桥梁一样它沟通了所要证明的不等式与相关定理之间的联系5总结51构造辅助函数的原则总结 构造辅助函数把复杂的问题转化为已知的容易解决的问题，这是微积分中的一种重要的解题方法通过上面从四个方面中阐述构造辅助函数在微积分学中的应用，我们了解到辅助函数的构造是有一定的规律的若某些数学问题是用通常办法按定势思维考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特性、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路辅助函数在构造时应遵循两个原则：1将未知化为已知 在微积分学中许多命题的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成2将复杂化为简单 一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形，由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的，这种通过巧妙的数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，是微积分学中的重要而常用的数学思维方式 总之，在利用构造辅助函数解决命题的过程中，要考虑将未知化为已知，将复杂化为简单，将两点融合在解题过程中上面有关定理及例题的证明都是遵从这两个原则的52构造辅助函数的方法总结 用辅助函数解决数学问题，是高等数学中常用的方法之一，如果能用好辅助函数，则轻而易举就能给出证明过程而辅助函数的构造有很多的技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将要证明的等式或者不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即：分析条件或结论选择定理构造辅助函数得出结论通过上面从四个方面中阐述构造辅助函数在微积分学中的应用，这里总结一下几种构造辅助函数的方法，以便更好的利用辅助函数解题1几何直观法一些命题的证明可以先分析结论的结合意义，做出符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线的方程，进而找到证明命题所需要的辅助函数即通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数如：利用几何直观法证明拉格朗日中值定理2原函数法 在利用微分中值定理求解有关介值问题时，要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分求出原函数作为辅助函数，其步骤可以总结为： (1)将欲证的结果中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号形式；(3)用观察法或积分法求出原函数，为简便积分，常数取作零；(4)移项使式子一边为0，则另一边即为所求的辅助函数3常数k值法此方法适用于常数已分离的命题构造辅助函数的步骤分为四步:(1)将结论变形使常数部分分离出来并记为；(2)恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式；(3)观察分析关于端点的表达式是否为对称式，若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为；(4)端点换变量的表达式即为辅助函数此方法在上面例子中没有具体的指出，但其理念有在其中渗透。4参数变易法此法适用于不等式的证明，直接把要证明的结论中