数学专业毕业论文浅析vandermonde行列式的相关性质及其应用

摘 要在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde目 录第一章 引言 1第二章 预备知识22.1 定义 22.2 行列式的性质 22.3 行列式计算中的几种基本方法32.3.1 三角形法32.3.2 加边法或升级法42.3.3 递推法或数学归纳法5第三章 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式63.1 Vandermonde行列式的证法 63.2 Vandermonde行列式的性质 73.2.1 推广的性质定理：行列式 73.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件93.2.3 Vandermonde行列式的偏导数93.3 Vandermonde行列式的翻转与变形 113.4 Vandermonde行列式的应用 12第四章 小结 17第五章 参考文献 18第六章 谢 辞 19 引 言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中。本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式Vandermonde行列式的相关性质及其应用。2 预备知识 为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。2.1 定义1行列式是由个元素（数）(=1,2,)排成行列并写成 (1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和： 每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为,式中是1,2,的一个排列。 每项应带正号或负号，以1,2,的顺序为标准来比较排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以应带正号；而中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。 2.2 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。性质8 设行列式的第行元素都可以表示成,那么等于两个行列式与的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于列来说也成立。性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。2.3 行列式计算中的几种基本方法 2.3.1 三角形法 就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算级行列式.分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第列（行）都加到第一列（行）（或第列（行）加到第列(行)），则第1（或）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.解 2.3.2 加边法或升级法 例2 计算级行列式 分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.解 2.3.3 递推法或数学归纳法 例3 计算级行列式 分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第1行（列）或第行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解 直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得3 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式 定义2 我们把型如=的行列式叫做Vandermonde行列式，其中表示这个数码的所有可能（， ）因子共项的乘积（）。 3.1 Vandermonde行列式的证法方法一、消元法证：从第行开始，每一行加上前一行的倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有 = =1（按行列式首项展开得到） (2)注意到行列式（2）是阶Vandermonde行列式，即已经将用表示出来。重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到：=（）()()= 即证。方法二：数学归纳法证：当时,成立。假设对于阶成立，对于阶有：首先要把降阶，从第n行起后一行减去前一行的倍，然后按第一行进行展开，就有，于是就有=，其中表示连乘，的取值为，原命题得证。方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。3.2 Vandermonde行列式的性质3.2.1 推广的性质定理：行列式= = (k=0,1,2n-1),其中是中（）个数的一个正序排列。表示对所有（）阶排列求和。 证：（i）在行列式中增补第（）行和（）列相应的元素考虑（）阶Vandermonde行列式 = = (*) (ii)由(*)式的两端分别计算多项式中项的系数，在(*)左端，由行列式计算：的系数为行列式中该元素对应的代数余子式，在(*)式右端，由多项式计算为的个不同根。根据根与系数的关系，项的系数为，其中是1，2中（）个数的一个正序排列，表示对所有（）阶排列求和。（iii）比较中项的系数，计算行列式，因为(*)式左右两端项系数应该相等，所以 即 （*） 定理得证。 利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式，简便易行。特别，当时，令=1，（*）式即为Vandermonde行列式V。例4 计算准Vandermonde行列式 解 由定理，=6,=3,所以 = .3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是中至少有两个相等.3.2.3 Vandermonde行列式的偏导数.定理 ，由Vandermonde行列式的定义知，是的元函数.例5 设是个两两互异的数，证明对任意个数，存在唯一的次数小于的多项式，使得，.证 从定义容易看出的次数小于，且，故只需证明唯一性即可.设满足，即，这个关于的线性方程组系数行列式为，故是唯一的，必须. 这就是有名的拉格朗日插值公式。例6 设是个复系数多项式，满足 . 证明： . 证：设，取，分别以代入，可得 ，这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，因此.3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形.3.3.1 将Vandermonde行列式逆时针旋转，得.3.3.2将Vandermonde行列式顺时针旋转，得.3.3.3 将Vandermonde行列式旋转，得 .34 Vandermonde行列式的应用3.4.1 Vandermonde行列式在Cramer法则中的应用. 例7 设是互不相同的数，求解下面的方程组. 解： 系数行列式为，其中，所以，.3.4.2 如何利用Vandermonde行列式计算行列式 法一 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将行列式化为Vandermonde行列式。 例8 计算解： . 法二 利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde行列式。例9 计算阶行列式，其中，（）.解：提取各行的公因式，得到（Vandermonde行列式） 上式右端行列式是以新元素为列元素的 阶Vandermonde行列式，所以 =.法三 如阶行列式的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且中含有个分行（列）组成的Vandermonde行列式，那么将的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式。 例10 计算行列式=.解：在的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到=在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得到 =.法四 各行（列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用各种方法化成Vandermonde行列式。下面用加边法。例11 （缺行Vandermonde行列式）. 解：注意此行列式与Vandermonde行列式的区别在于的幂跳过，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用Vandermonde行列式，故令=.另一方面，对按最后一列进行Laplace展开，可知的代数余子式是.因此视为的多项式，则应是的系数，故（的系数） .注1缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermonde行列式。注2 利用此例中的添加一些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超Vandermonde行列式，及其他行列式。 注意当时，故也含因子。特别，知.因和都是齐次及对称多项式，故应是次齐次对称多项式。按的次序排列时，的首项为（的首项），故知的首项为，由此可得到. 法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式性质将这一行（列）元素化为全是1的元素。 例12 证明=. 证：将的第1行加到第3行上，得到= .3.4.3 Vandermonde行列式在多项式理论中的应用 例13 设多项式，；，则不可能有非零且重数大于的根。证明：反设是的重数大于的根，则，进而即 （3） 把（3）看作以为未知量的齐次线性方程组，则（3）的系数行列式为 . 故方程组（3）只有零解，从而，因此必须，这与矛盾，故 没有非零且重数大于的根。4 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步系统的阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活服务。参考文献 1张贤科，许甫华.高等代数M.清华大学出版社，19982卢刚，冯翠莲.线性代数M.北京大学出版社，2006.63Bernard Kolman,Da