压力容器分析设计的塑性力学基础

压 力容器分析设计 的塑性 力学基础 陆明万 ( 清华大学 航天航空学院， 北京1 0 0 0 8 4 ) 摘要： 压力容器分析设计方法 已经进入弹塑性分析 的新时代。文 中将简明介绍相关的塑性力学基 础 。 关键词： 弹 塑性分析 ； 塑性 力学； 分析设计方法 中国分类号 ： 0 3 4 4 3 ； T H 4 9 文献标识码 ： A 文章编 号： 1 0 0 1 4 8 3 7 ( 2 0 1 4) f ) 1 0 0 2 0 0 7 d o i 1 0 3 9 6 9 i s s n 1 0 0 14 8 3 7 2 01 4 0l 0 0 4 F o u n d a t i o n o f P l a s t i c i t y f o r De s i g n by An a l y s i s o f Pr e s s u r e Ve s s e l s LU M i ng wa n ( Ae r o s p a c e S c h o o l ， i n g h u a U n iv e r s i t y ， B e r i n g 1 0 0 0 8 4， C h i n a ) Ab s t r a c t D e s i g n b y 3 1 1a l y s i s 0 f p r e s s u r e v e s s e l s h a s t u r n e d i n t 0 a n e w e r 3 o f e l a s t op l a s t ic a n a l y s i s A c o n c i s e in t r o d u c t i o n o f f n u n d a t i o n o f p l a s t i c i t y r e l a t e d i S g i v e n i n th i s p a p e r Ke y wo r d s ： e l a s t op l a s ti c a n a l y s i s ； p l a s t i c i t y ； d e s i g n b y a n a l y s i s 0 g 1 言 自从欧盟标准 E N 1 3 4 4 5 ( 2 0 0 2 ) 和美国规 范 A S M E 一 2 ( 2 0 0 7 ) 颁发 以来 ， 压 力容器分 析设计方法就从弹性应力分析进入 到弹塑性分 析 的新时代。新规范要求设计人员首先完成压力容 器部件的弹塑性分析 ， 然后才 能按规 范进行安全 评定。这样 ， 设计 人员仅掌握 弹性力 学 的知识 和 关于极限载荷、 安定、 疲劳、 棘轮等失效模式的塑 性力学基本概念就不够用了， 必须进一步掌握与 弹塑性分析相关的塑性力学基本 知识 。文中将 重 点介绍小变形情况下的塑性本构模型的基本知 识 1 弹 塑性分析概述 在弹塑性分析 中， 除 了要 考虑结构 在弹性状 2 0 态 下的响应外 ， 还要 进一步考 虑结构局 部或大范 围进入 塑性状态 时的响应 。 弹性分 析的基本 方程有三大类 ： ( 1 ) 平衡微分方程； ( 2 ) 变形 几何 方程 ， 包括 应变位 移关 系和应 变协调方程 ； ( 3 ) 材料 特性 方程 ， 对线 弹性 材料就 是广义 胡克定律。 求解时还要加上力边界条件和位移边界条 件 。 弹塑性分析包括两个阶段： 首先是弹性分析 阶段 ， 在加载初期结构 内的材料全是弹性的 ， 处于 纯弹性状态 ； 当最大应力点达到屈服条件时， 结构 丧失纯弹性状态 ， 出现局部塑性变形 ， 于是进入 弹 塑性分析的第二阶段。弹塑性分析的基本方程还 是上述三大类 ， 而且前两类方程和边界条件都与 弹性分析相同( 进入塑性后第2类方程中的应变 第 3 1 卷第 1 期 压 力 容 器 总第 2 5 4期 均指总应变 ， 总应变是弹性应 变与塑性应变之 和) ， 不同之处只是材料特性变了， 广义胡克定律 不再适用。正因如此 ， 弹塑性有 限元分析的几何 模型和边界条件与弹性分析完全相同， 只要把材 料模型改为弹塑性材料 ， 并补充输入材料的塑性 特性参数 ， 这样当屈服发生时就可以继续加载 ， 程 序会 自动进入弹塑性分析。也正因如此 ， 文 中将 重点介绍塑性力学如何建立塑性材料模型( 又称 本构模型) 的基本概念和基本方法。 材料的塑性特性和弹性有很大区别。先讨论 大家熟悉的单向拉伸情况。图 1 示出单向拉伸应 力一应变曲线。当应力超过初始屈服 限 0 ( 曲 线上的 1点) 时， 材料进入塑性状态。对 于应变 硬化材料 ， 载荷可以继续增加 ， 加载路径为曲线 1 2 3 段。若加载到 2点时卸载 ， 应力将按弹性 关系卸载 ( 卸载路径 2 4段 的斜率与弹性加载 路径 0 1 段相 同) 。若从 4点再次加载 ， 初始段 4 2是弹性的， 沿卸载路径 2 4反 向前进 ， 到达 2点后屈服 ， 它对应 的应力 称为后继屈服 限。 对应变强化材料 工程 中称为冷作硬化。 若继续加载， 材料对以往的加载历史会有记忆 ， 因 而将沿路径 2 3前进 ， 而不会像初始屈服段 1 2那样走虚线路径 2 3 。 点 4和原点问的应变差 为不可恢复的塑 残余应变。 图 1 单 向拉伸应力一应变曲线 从图 1 可以看出塑性应力一应变关系的几个 特点： ( 1 ) 非线性。加载路径不再是直线 ， 而变成 曲线。但需要指出， 非线性不是塑性变形的独有 特性 ， 有些材料 的弹性应力一应变曲线也可以是 非线性的。不同的是 ， 非线性弹性变形在卸载时 能按加载路径原路返 回到初始无应变状态 ， 而塑 性变形是不可恢复的， 卸载后留有残余变形。 ( 2 ) 加卸载性质不 同。加载是塑性 的， 是 曲 线路径 ； 卸载是弹性的， 沿直线返 回直到反 向屈 服 。 ( 3 ) 历史相关性。弹性 的应力和应变有一一 对应关系 ， 与加载历史无关。塑性阶段出现不可 恢复的塑性变形 ， 应力一应变关系与加载历史相 关 ， 不再一一对应。由图 1可看出， 应力 在加 载时对应于应变 ， 而卸载时应变为 2 ； 反过来 ， 应变 2 也对应着 2个应力 ， 加载时为 2 ， 卸载时 为 1 。 图 2示出塑性力学 中常用 的简化材料模型。 图 2( a ) 为无硬 化 的弹性一理想 塑 性 材 料 ， 图 2 ( b ) 为弹性一线性硬化材料 ， 图 2 ( c ) 为幂硬化 材料。由于弹性应变一般 比塑性应变小得多 ， 在 求塑性力学问题 的解析解时常忽略弹性应变、 仅 考虑塑性应变 ， 称为刚塑性材料模型， 图 2 ( d ) 为 刚性一理想塑性材料。 ( a )弹性 一理想塑性 ( b )弹性 一线性硬化 ( d )刚性 一理想塑性 图 2 塑性材料模型 图 3示出反向加载情况。若卸载后接着反 向 加载 ， 并达到反向屈服 ， 则可能出现 3种情况 ： ( 1 ) 若 o - = 2 o - ， 即正反向的屈服限大 小相等， 称为各向同性硬化 ； 21 压力容器分析设计的塑性力学基础 ( 2 ) 若 一 = 2 0 ， 即正反向的屈服限大 小不同， 且屈服应力范围 O - s1 与无硬化情况 相同， 称为运动硬化 ； ( 3 ) 若反向屈服限在上述两种屈服限之 间， 称为混合硬化。 图 3 反 向加载应变硬化特性 图4示出循环加载情况。可以看 出， 随着循 环次数的增加 ， 应力一应变曲线不断向外扩张， 这 是循环硬化现象。其中第 1和第 2个循环的差别 最大， 经过若干次循环后就会趋于一个稳定 的迟 滞 回线 ， 即图中最外圈的闭合 曲线。有限元分析 中的循环加载应力一应变关系常采用稳定迟滞 回 线 n 图 4 循环硬化迟滞 回线 从上述介绍可以看出， 即使是单调加载情况 ， 塑性分析要处理的问题也 比弹性分析复杂得多。 2 2 它包括 ： 何时进入塑性?进入塑性后 向哪个方 向 发生塑性流动?材料的应变硬化规律如何?在当 前加载步下应该采用塑性加载曲线关系还是弹性 卸载直线关系?塑性应力应变关系怎么描述?将 在下面逐一展开讨论。 2 塑性力学的重要准则和法则 2 1 屈 服 准 则 判断材料从弹性进入塑性的条件称为屈服准 则或屈服条件。对单向应力状态 ， 它就是屈服限。 在以三个主应力为坐标 的应力空间中， 它是一个 曲面 ， 称为屈服面。 材料力学中的第四( 畸变能) 和第三( 最大剪 应力) 强度理论就是两个经典的屈服准则 ， 分别 称为冯 米泽斯 ( R y o n Mi s e s ) 准则和特雷斯卡 ( H T r e s c a ) 准则。在二维 主应力空 间 ( O - ， O - 2 ) 中， 它们分别是一个椭圆和与其内接的六边形 ， 如 图 5所示。在三维主应力空间( O - ， O - 2 ， O - ) 中， 它 们分别是一个圆柱曲面和与其内接的正六角柱形 曲面 ， 如图6所示 。 I O - = = 一 一 ， ， 1 r e e a 一 ( 7 - s 图 5 二维屈服面 特雷斯卡准则只考虑最大和最小主应力对屈 服的影响， 米泽斯准则还考虑中间主应力的影响。 试验证明米泽斯准则更为准确 ， 特雷斯卡准则稍 偏保守。此外 ， 特雷斯卡准则是分段线性的， 便于 寻找解析解 ， 米泽斯准则是二次光滑曲面 ， 便于数 值计算 ， 在有限元分析中大多采用米泽斯准则。 将应力张量分解为球量和偏量 ( 这 同时适用 于弹性力学和塑性力学) 可以给出更为简明的屈 服面图形表示方法。应力球量表示各个方向都受 第 3 1 卷第 1 期 压 力 容 器 总第 2 5 4期 大小相等的平均正应力 0 ， 对各 向同性材料 ， 它 仅导致纯弹性的体积胀缩变形而无剪切变形。塑 性变形仅与应力偏量有关 ， 它导致剪切变形和形 状畸变 ， 而体积保持不变 ， 即具有不可压缩性 ， 相 应的泊松 比 =1 2 。 图 6 三维屈服面 在三维主应力空间中有一根通过坐标原点且 与三个坐标轴夹角都相等的轴 ， 称为等倾轴。它 就是图 6中圆柱形和正六角柱形屈服面 的中心 轴。等倾轴与坐标轴的夹角余弦为 1 3 ( 夹角为 5 4 7 4 。 ) 。垂直于等倾轴 的平 面称 为偏量平 面。 通过坐标原点的偏量平面称为 平面( 见 图 6 ) 。 偏量平面与等倾轴 的交点到坐标原点的距离为 n 3 ， 它只与应力球量有关。当应力点在各偏量 平面( 包括 平面) 上移动时， 对应于弹性变形的 应力球量保持不变( 若在 平面上移动则始终为 零) ， 但应力偏量发生改变。塑性变形仅与应力 偏量有关 ， 所以三维应力状态下 的屈服准则可以 简单地用 平面上的二维曲线来表示。当 平 面沿等倾轴移动到任意偏量平面时， 应力球量改 变 ， 而偏量不变 ， 所以柱形屈服面的横截面形状不 变。也就是说 ， 图 6中的三维屈服面是一类 以等 倾轴为中心轴的等截面柱形曲面。 朝向原点沿等倾轴方向去观察 平面， 得到 平面上 的等轴测 图， 见图 7 。此时等倾轴投影 成原点 ， 三个主应力轴的夹角成 1 2 0 。 。米泽斯准 则成一个圆。特雷斯卡准则成正六边形。 平面 上的三个坐标轴本来是三个主应力轴在 平面 上的投影( ， ， ) ， 投影时各主应力轴等 比例 地缩小了 2 3倍 。为作 图方便 ， 常把 平面等 比例放大 倍 ， 并把 ( ， ， ) 轴改为主应 力轴( ， 2 ， 3 ) 。此时屈服面也要 同时放大。 例如 ， 平面上米泽斯圆的半径原为 ， 图7 中米泽斯圆的半径被放大成 。 图 7 平面上的屈服面 在有限元分析中可以根据应力点在 平面 上的位置来判断三维应力状态是否达到屈服 ， 也 可以在 平面上绘制屈服后应力点的变化路径。 泽曼( J L Z e m a n ) 在其专著 中介绍了在弹塑性 循环加载分析 中如何利用 平面上 的应力路径 来判断是否达到安定状态。 屈服准则应用于： ( 1 ) 判断物体 内何处开始进入塑性 ， 确定弹 一 塑性区交界面的位置； ( 2 ) 和下面加卸载准则一起决定当前计算 中 应采用什么本构关系。 2 2 硬 化 法 则 刚从弹性进入塑性时的屈服面称为初始屈服 面 ， 相当于单向拉伸时的初屈服限 发生塑性 变形后的屈服面称为后继屈服面或加载屈服面， 相当于单向拉伸时的后继屈服限 硬化法则 研究塑性加载过程 中屈服面的硬化规律 ， 即如何 确定后继屈服面的形状和位置。 无应变硬化的理想塑性材料在加载过程中屈 服面的形状和位置始终保持不变( 相当于单 向拉 伸时屈服应力始终为 0 ) 。应变硬化材料 的后 继屈服面是不断改变的， 其变化规律与材料 的应 变硬化机理有关 ， 见图 8和图 3 。 ( 1 ) 各向同性硬化 硬化后的后继屈服面是初始屈服面在各个方 向上的等 比例扩大 ( 即形状相似放大) 。各 向同 压力容器分析设计的塑性力学基础 性硬化模型忽略了由塑性变形引起的材料各向异 性 ， 仅适用 于单调加载情况 以及材料无鲍辛格 ( J B a u s c h i n g e r ) 效应 ( 鲍辛格效应是指材料拉伸 屈服限与压缩屈服限不同的现象) 时的反复加载 情况。 图 8 各类应变硬化法则 ( 2 ) 运动硬化 后继屈服面 的形状大小都 和初始屈服面相 同， 但中心点位置发生移动。运动硬化模型适用 于材料有鲍辛格效应时的反复加载情况。按中心 点移动方向的规则不 同， 又分为普拉格 ( W P r a g e r ) 运动硬化模型和齐格勒 ( H Z i e g l e r ) 运动硬化 模型。对于单调加载情况以及反复加载下的三维 问题、 平面应变问题、 轴对称问题和扭转问题等较 多情况两者是等价 的， 但对于反复加载下的平面 应力问题等少数情况 ， 后者的适用性较广。 ( 3 ) 混合硬化 各向同性硬化表现为屈服面的均匀膨胀 ， 运 动硬化表现为屈服面随其中心点的移动。实际工 程材料往往是屈服面既膨胀又移动 ， 称为混合硬 化 。 在实际应用中可以对材料做单向拉伸一压缩 试验 ， 按 图 3来判断其硬化特性。当没有适用 的 试验数据时， 可以先按各向同性硬化和运动硬化 分别进行计算 ， 然后取两者 的平均值或保守地取 偏危险的计算结果 ( 以极限载荷计算为例 ， 极 限 载荷偏低的那个结果表示结构的实际承载能力较 小 ， 因而是偏 危险 的。取这个 结果设 计就偏保 守) 。 屈服面是应力空间中的空间曲面， 其方程为 ： F ( O - )= 0 。F ( O - ) 称为屈服函数。例如 ， 米泽斯 4 准则的屈服函数为： 1 F( O - )= ( O - 1 一 O - 2 ) 2 +( O - 2 一 O - 3 ) 2 + ( O - 一 O - ) 2 一k 2 ( 1 ) 其中， k 为表征材料应变硬化特性的参数 ， 当 k 增加时屈服面就等 比例地 向外扩大 ( 与球方程 2 + Y 2 + 2 一 R 2 = 0对 比， k的作用就相当于半径 ，控制 图形 的大小 ) ， 表示各 向同性应变硬化。 应变硬化程度与塑性应变大小有关 ， 通常认为 k 是 等 效 塑 性 应 变 p 的 函 数( p = ( 一 墨 ) 2 + ( 墨 一 ) 2 + ( 一 ) 2 ， 又译为 “ 当量塑性应 变“ ) ， 可 以用单 向拉 伸试验 的应 力一应变 曲 线 来 确 定。对 初 始 屈 服 面： k= O- 0 3 ， 对 图 1中 2点处 的后 继屈 服面： k= O - 米泽斯准则的运动硬化屈服函数为 F( O - O 1 ) ， 其中 称为移动张量或背应力 ， 描述应变硬 化过程中屈服面中心点的移动情况。普拉格模型 取移动张量的全量 O 1 而齐格勒模型仅取移动张 量的偏量 O 1 。 2 3 流动 法 则 在一维情况下塑性流动的方向是唯一的， 沿 坐标轴方 向。在二维 和三维情况下 ， 塑性流动 的方 向将按流动法则来判定。塑性变形 由先后 发生的塑性应变增量逐 步累积而成 ， 所 以每个 时刻塑性流动的方 向将 由塑性应变增量 的方 向 来决定。 流动法则与塑性势有关。塑性势 Q( O - ) 是 与塑性变形相关 的势能 ， 它是应力的函数。流动 法则认为， 塑性应变增量 d oo i 与塑性势的梯度 o Q O o - 成正 比： v - d A ( 2 ) 其中， d 是一个非负的比例常量。式 ( 2 ) 表 示塑性势梯度的方向就是当前塑性流动的方向。 在应力空间中塑性势 Q和屈服函数 一样 ， 可以表示为一个空间曲面， 其梯度方 向就是该 曲 面的外法线方 向。所 以由式 ( 2 ) 可知 ， 塑性应变 增量与塑性势曲面相垂直。 根据屈服函数与塑性势函数的关系可以区分 两类流动法则 ： ( 1 ) 若 Q( O - )=F( O - ) ， 即把屈服面和塑性 第 3 1 卷第 1 期 压 力 容 器 总第 2 5 4期 势面关联起来 ， 则称为关联流动法则 。此时塑性 应变增量与屈服面垂直 ， 所 以关联流动法则又称 为正交流动法则。常用金属材料都服从正交流动 法则 。 ( 2 ) 若 Q( O - ) F( O - ) ， 则称为非关联流动 法则。此时塑性应变增量与塑性势面垂直而与屈 服面不垂直 ， 所以又称为非正交流动法则。它适 用于混凝土和岩土等材料。 2 4 加卸载准则 当载荷增加时在塑性区内有些地方可能出现 局部卸载 隋况。对塑性变形来说加载和卸载的材 料性质是不同的， 所 以有限元计算 的每个增量步 都需要判断在计算点处 ， 当前是处于塑性加载还 是弹性卸载 ， 然后才能决定采用什么本构关系。 加卸载准则给出了判断加载还是卸载的依据。 常用工程结构材料都是应变硬化材料 ( 又称 稳定材料 ) 。硬化材料 的塑性变形特性是： 当塑 性应变增加时 ( d 0 ) 应力也随之增加或对理 想塑性材料至少不减少 ( d o - 0 ) 。因而应力增 量在塑性应变增量上做的塑性功总是非负的， 即： d o - d e p 1 0 ( 3 ) 再基于关联流动法则可以给出如下德鲁克 ( D C D r u c k e r ) 加卸载准则 ： ( 1 ) 若 F= 0 ， 且 d o - 0 ， 为塑性加载 ； OO ( 2 ) 若 F= 0 ， 且 d o - 0 。对已经进入大范围塑性流动的无约束情 况， 的值是不确定的， 因为理想塑性材料的塑 性应变可 以任意增长 。对 尚处于局部塑性变形 的 情况， 局部塑性流动将受到周围弹性材料的变形 约束， 此时根据一致性条件( 即塑性加载后仍应 满足屈服准则 ) 可以确定 ： d A = ( 6 ) O- 其中， d 为当量塑性应变增量。代回式 ( 5) 有 ： = ( 7 ) U 弹塑性总应变增量 是弹性应变增量 和塑性应 变增量 之和： d e =d s +d ( 8 ) 由弹性力学知道， 应力偏量 与弹性应变偏 量 e 成正比， 比例系数为 2 G ( G为剪切模量) ； 平 均正应力 O- 与平均正应变 s 成正比， 比例系数 为3 K ( K为体积模量) 。写成增量形式有 ： d s ； =2 G ( 9 ) d o - o d e o=3 K 考虑到塑性应 变增量 的球 量为零 ， 由式 ( 5 ) 或( 6 )和式 ( 9 )得到如 下 普朗特 一罗伊斯 2 6 凳 = d o - o 、 ： 山 0( 2 +寻 d e 了 l 或 ： j = J d d d 1( ) ； a t ( + ) ； a t