北京海淀区十一学校培训班讲义__数学小升初内部讲义.pdf

1 目目 录录 第一讲第一讲逻辑推理初步逻辑推理初步2 2 2 2 第二讲第二讲循环小数化分数循环小数化分数4 4 4 4 第三讲第三讲分数计算（一分数计算（一） 10101010 第四讲第四讲分数计算（二分数计算（二） 13131313 第五讲第五讲分数、百分数应用题（一分数、百分数应用题（一） 17171717 第六讲第六讲分数、百分数应用题（二分数、百分数应用题（二） 22222222 第七讲第七讲生活中的经济问题生活中的经济问题27272727 第八讲第八讲工程问题工程问题29292929 第九讲第九讲圆的周长与面积圆的周长与面积32323232 第十讲第十讲不定方程不定方程40404040 2 第一讲第一讲逻辑推理初步逻辑推理初步 学习提示学习提示： 本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要 是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这 样的问题我们称之为逻辑推理问题。 典型题解典型题解 下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。 例 1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒 山和中岳嵩山。 一位老师拿出这五座山的图片， 并在图片上标出数字， 他让五位同学来辨别， 每人说出两个。学生回答如下： 甲：2 是泰山 ，3 是华山乙：4 是衡山，2 是嵩山丙：1 是衡山，5 是恒山 丁：4 是恒山，3 是嵩山戊：2 是华山，5 是泰山。 老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？ 例 2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计， 甲说： “他至少有 1000 本书” 。 乙说： “他 的书不到 1000 本” 。丙说： “他至少有一本书” 。这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟 有多少本书？ 例 3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天， 一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚： “你后面是哪一个和尚？”和尚回答： “讲真话 的” 。他又问第二位和尚： “你是哪一位？”得到的回答是： “有时讲真话，有时讲假话” 。 他 问第三位和尚： “你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说： “讲假话的” 。根据他们的回答， 智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。 例 4 桌上放了 8 张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知： （1）每张都是a、k、q、j 中的一张； （2）这 8 张牌中至少有一张 q； （3）其中只有一张 a； （4）所有的 q 都夹在两张 k 之间； （5）至少有一张 k 夹在两张 j 之间； （6）j 和 q 互 不相邻，a 和 k 也互不相邻； （7）至少有两张 k 相邻。则图中的 8 张牌各是什么牌？ 例 5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从 1 到 5 编了好，让各 个学生说出其中任意两位科学家的名字： 张三说： “2 号是牛顿，3 号是伽利略” 李四说： “1 号是瓦特，2 号是爱因斯坦” 王五说： “3 号是爱因斯坦，5 号是瓦特”许六说： “2 号是牛顿，4 号是哥白尼” 陈七说： “4 号是哥白尼，1 号是伽利略” 老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？ 3 例 6 在一次有 3 人参加的讲话中，小张指责小王和小李： “你们都在说谎。 ”小李却说： “小 张正在说谎。 ”小王则说： “小李正在说谎。 ”试判断他们谁讲的是真话，谁讲的是假话？ 例 7 有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。又知道下面三种说法只有一种 是对的： （1）甲是车工（2）乙不是车工（3）丙不是钳工 请问他们各是什么工种？ 例 8 有四人打桥牌（牌中不含大、小王，每人共 13 张牌） ，已知某人手中的牌如下： （1）红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有； （2）各种花色的牌，张数不同； （3）红 桃和黑桃共有 6 张； （4）红桃和方块共有 5 张； （5）有两张主牌（将牌） 问这手牌以什么花色为主牌？ 逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。如何从复杂的条件中选准突破逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。如何从复杂的条件中选准突破 口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理 的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条 件，然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。件，然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。 例 9 同住一间宿舍的 a、b、c、d 四名女大学生，正在听一组乐曲。她们当中有一人在修 指甲，一人在做头发，一人在化妆，另一人在看书。已知： （1）a 不在修指甲，也不在看书（2）b 不在化妆，也不在修指甲（3）如果 a 补在 化妆，那么 c 不在修指甲（4）d 不在看书，也不在修指甲。问她们各自在做什么？ 例 10 在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史， 每位老师教两门课。现知道： （1）化学老师和数学老师住在一起， （2）甲老师是三位老师中最年轻的， （3）数学老师和 丙老师是一对优秀的国际象棋手， （4）物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻， （5）三人 中最年长的老师住家比其他二位老师远。问甲乙丙三位老师分别教哪两门课？ 例 11a、b、c、d 四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英 语，但没有一种语言四个人都会，并且知道：没有人既会日语又会法语，a 会日语，而 b 不会，但他们可以用另一种语言交谈。c 不会德语，a 和 d 交谈时，需要 c 为他们做翻译， b、c、d 不会同一种语言，请说出四人分别掌握哪种语言？ 例 12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换， 经 过数次交换后，他们五人每人都读完了这五本书。现已知： （1）甲最后读的书是乙读的第二本， （2）丙读的第二本甲在一开始就读了， （3）丙最后读 的书是乙读的第四本， （4）丁读的最后一本是丙读的第三本， （5）乙读的第四本是戊读的第 三本， （6）丁第三次读的书是丙开始读的那一本。请判断出读这五本书的顺序。 例 13 小东，小兰，小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、 排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道： （1）小东不在一中， （2）小兰不在二中， （3）爱好排球的不在三中， （4）爱好游泳的在一 中， （5）爱好游泳的不是小兰，你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？ 例 14 宾馆里住着 a、b、c、d、e、f 六个不同国籍的客人，他们来自美、英、法、德、 俄国和意大利，现在知道： （1）a 和美国人是医生， （2）e 和俄国人是教师（3）c 和德国人是工程师 （4）b和 f 都 曾是运动员（5）而德国人从来不爱运动（6）法国人比 a 年龄要大（7）c 比意大利人年龄 小 （8）b同美国人到英国去旅行（9）c 同法国人要到瑞士去度假。问：a、b、c、d、e、 f 各是哪国人？ 4 第二讲第二讲 循环小数化分数循环小数化分数 学习提示：学习提示： 在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数， 或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数 的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。 从 本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数 的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。 典型题解典型题解 一、一、循环小数化成分数循环小数化成分数 1、 纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 怎样把它化成分数呢？看下面 例题。 例 1 把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.102 1 0.6 106.6666 0.6=0.6666 0.6 96 62 0.6= 93 = = = 解：（ ） 两式相减得 所以 2 3.1020.102 0.102 1000102.102.102 0.1020.102.102 0.102 999102 10234 0.102 999333 102 3.1023999 = = = = = 解：（ ）先看小数部分 ? 两式相减得 所以 34 3 333 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个 循环节表示的数，分母各位上的数都是 9，9 的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 2、 混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？ 看下面的例题。 例 2 把混循环小数化分数 1 0.215 2 6.353 （ ）（ ） 5 1 0.215 1000=215.1515 0.215 10=2.151515 0.215 990=2152 215-221371 0.215= 990990330 = 解：（ ） 两式相减得 20.353 0.353 1000=353.333 0.353 100=35.333 0.353 900=35335 353-3531853 0.353= 900900150 353-35318 6.353=66 900 = = 解：（ ）先看小数部分 两式相减得 所以 53 6 900150 = 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分 子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。 分母的 头几位是 9， 末几位是 0。9 的个数与循环节中的位数相同，0 的个数与不循环部分的位数相 同。 练习：1、化纯循环小数为分数。 1 0.23 2 0.107 （ ）（ ） 2、 化下列混循环小数为分数。 1 0.312 2 0.003 3 0.2316 （ ）（ ）（ ） 二、二、循环小数的四则运算循环小数的四则运算 循环小数化成分数后， 循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。 从这种意义 上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。 例 3 计算下面各题： 1 2.45+3.13 2 2.609 1.32 (3)4.3 2.4 (4)1.240.3 （ ）（ ）- 解：先把循环小数化成分数后计算。 5297 12+3=5 1115165 61322839 22-1=1 100999900 1416 (3)42=10 3927 818 (4)1=3 33311 （ ）原式= （ ）原式= 原式= 原式= 6 三、三、循环小数作加法循环小数作加法 循环小数能直接作加法运算吗？ （1）有限小数加循环小数 考察下面的例子。计算： 0.20.3+ 0.280.7+ 0.40.32+ 0.98 0.45+ 0.678 0.54+ 0.6 0.38+ 目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。 118 0.20.30.53 5315 +=+= 77238 0.280.71.057 259225 +=+= 232358 0.40.320.7232 599495 +=+= 495789 0.980.451.4345 5011550 +=+= 33966729 0.6780.541.223454 500115500 +=+= 33589 0.60.380.98 59090 +=+= 现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中 发现直接运算的法则。 0.20.30.20.330.53+ 0.280.70.280.7771.057+ 0.4 0.320.4 0.32320.7232+ 0.980.450.980.45451.4345+ 0.678 0.540.678 0.5454541.223454+ 0.60.380.98+ 怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。 我们利用类似的方法还可以去研 究其他的几种情形。 （2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。 考察下面的一些例子。 235 0.20.30.5 999 +=+= 123405528 0.1230.4050.528 999999999 +=+= 7 36 0.30.61 99 +=+= 875 0.80.71.6 993 +=+= 5849107 0.580.491.08 999999 +=+= 9785841562 0.9780.5841.563 999999999 +=+= 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？ （3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。 考察下面的例子： 32154 0.30.210.54 99999 +=+= 6212878 0.60.2120.878 9999999 +=+= 23324556647 0.230.3240.556647 99999999999 +=+= 598153 0.50.981.54 99999 +=+= 674981175265 0.670.4981.175266 99999999999 +=+= 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？ 如果能得出以上三种情形的运算法则的话， 那么， 利用这些法则去直接计算混循环 小数之间的加法运算就不是一件难事了。 规律 （1）有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。其循环节跟原加数的循环节 相同。法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环 小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节补足再 相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。 （2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。法则是： 用两个循环节相加的和除于 999（其中 9 的个数等于循环节的位数）， 商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循 环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节） 。 （3）两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节 的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。方法是：先把两个加数改成 循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小 数，再按照法则（2）进行计算。 1 直接计算下列各题 0.4 0.3+ 0.43 0.35+ 0.9 0.8+ 0.980.89+ 0.40.98+ 0.50.89+ 练习 8 0.1230.234+ 0.4560.567+ 0.780.123+ 0.4 0.789+ 0.825 0.78+ 2 直接计算下列各题 0.230.435+ 0.3890.983+ 0.2370.8+ 0.7546 0.283+ 0.203 0.023+ 0.678 0.678+ 3 将分数化成小数计算 2 (1)0.85 3 + 51 (2)0.38 69 + 25491 (3) 3691199 + 7583113 (4)0.3 8999999 + 四、四、循环小数与整数作乘法循环小数与整数作乘法 我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。由于一个数乘以整数就是求几个 相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。下 面分两种情形来讨论。 （1）纯循环小数乘以整数。 考察下面例子： 3 0.3 220.6 9 = 3 0.3 441.3 9 = 43 0.43 220.86 99 = 8373348 0.837443.351 999999 = 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？ （2）混循环小数乘以整数。混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进 行计算。例如，计算 0.32 5(0.32 10 5) 10(3.2 5) 1016.1 101.61= 任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法 则。 规律 （1）纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数 中的循环节位数相同。法则是：用循环节乘以整数的积除以 999（其中 9 的个数等于循环节的位数） ，商作积的整数部分，余数作积的循环节。 （2）混循环小数乘以整数， 先将混循环小数扩大一定的倍数， 使它变成纯循环小数， 按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得 到混循环小数乘以整数的积。 1、 计算下列各题 0.42 0.04 4 0.24 6 练习 9 0.324 8 0.56 3 0.056 5 0.256 7 0.1256 9 0.506 8 2、 计算 0.8 0.9 0.87 0.65 0.850.6 13+ 8 170.35 9 +125 0.8 7 7.087 49 0.138+ 10 第三讲第三讲 分数计算（一）分数计算（一） 学习提示学习提示： 在分数四则混合运算中，按照四则运算的顺序进行计算的同时，如果能够根据数据特 点灵活运用定律，可以使计算更简便、迅速。这一点在一定程度上反映一个人智商的高低和 知识掌握的灵活程度。 典型题解典型题解 例例 1 1 1 1 20111934 113.003 20919195 分析我们在五年级学过数的整除，看到 209、119、195 这样的数，不难想起 7、11、 13、19 等质数，3.003 好象与 1001 有关系，它可是有 7、11、13 这三个质因数，好象能约 分，可以试一试。 250019343003 2091191951000 =原式 2500192 173 7 11 13 11 197 173 5 131000 = =1 太好了，约完分正好等于 1。看到一个数字，你能想起哪些数学知识，这也可以说是数 感吧！ 例例 2 2 2 2 20041 20042004 20052006 + 分析：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母 200420052004，这算式可以运用乘法分配律等于20042006，又可以约分。 1 2006 + 2004 2006 原式=2004 2005 1 2006 20051 20062006 1 + =+ = 2005 =2004 2004 2006 真好，又等于 1。聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出 2004 20042005 2005 的被除数与除数都含有 2004，把他们同时除于 2004 得到1 1 1 2005 也是很好算的，这一方 法就留给你们吧！ 例例 3 3 3 3 1 31.8 7.919 944.3 2.1 4 + 分析算式是乘加乘的形式，有可能运用乘法分配律，第一个乘法算式与第三个乘法 算式中分别有两个因数 7.9 和 2.1，但是另一个因数不相同，可以把 44.3 拆成 31.8 与 12.5 的和后反复运用乘法分配律。 11 1 31.8 7.9 19 9(31.8 12.5) 2.1 4 +原式= 1 31.8 7.919 931.8 2.1 12.5 2.1 4 1 31.8 (7.92.1) 19 912.5 2.1 4 318 19 (8 1.25) 1.25 2.1 318 19 8 19 1.25 1.25 2.1 318 1521.25 (1921) 318 15250 520 + =+ =+ =+ + =+ =+ = = 怎么样，合理运用和、差、积、商的变化规律进行拆分、转化创造条件运用运算定律， 可以使计算变的简单吧。 例 4 1 2 3 4+24 6 8+4 8 12 16 1 3 5 7+2 6 10 14+4 122028 分 析 看 起来数 很大 、很 复杂 ，但 排列 很有 规律性 。1 2 3 4 自 不用说 ， 4 24 6 81 2222 3 24=21 2 3 4; = 4 4 8 12 16=41 2 3 4. 哇！分母也有这一规律，用乘法分配律又可以约分了。 444 444 11 2 3 421 2 3 4+41 2 3 4 = 11 3 5 7+21 3 5 7+41 3 5 7 + 原式 444 444 1 2 3 4 (1 +2 +4 ) 1 3 5 7(1 +2 +4 ) = 8 35 = 例 5 2 2004 4 20042003 2005 + 2 20042004200420042004 2003 20052005 2003,200420032003, 2004 (2004-2003)-2003=1 分析 即表示个,表示个 也可以看成个再加上一个这样分母就转变为 2004 4 200420042003 20042003 2004 =4 2004 (20042003)2003 =2004+4 =2008 =+ + 原式 12 其实此题运用的就是例 3 中拆数的方法，正反运用乘法分配律。 分数计算千变万化， 但万变不离其宗， 除了要掌握分数运算的计算法则、 定律、 性质外， 还要有以下两种意识： 1、 约分。约简分子、分母中的公因数及公因式。 2、 灵活运用定律、性质。这里说的主要是运用乘法分配律。对于形如乘加(减)乘的算 式及乘法算式， 有一个因数可以凑整时， 分析另一个因数的特点， 必要时进行拆分， 从而使用乘法分配律进行简便计算。 同学们，通过以上讲解，不知对你是否有些启发，试一下怎么样。 课后自测：课后自测： 3 15.61 9.9 0.38(0.19 31.1) 10 3314 232.843(11.42) 1 4525 19981 31998 19981999 2000 153 43.473.67.53?3 ) 9185 423119 51(18)20 19341223 139 1.3 3.9 11.73 927 171717 6 1 1.3 2.6 3.93 6 9 17 + + + + + + + 、 、 、 、 （ 、 、 2 23 1717 111111 7111111 2345998999 12345678987654321 8 999999999 + + + + + 、 、 13 第四讲第四讲 分数计算（二）分数计算（二） 学习提示学习提示 在五年级的课本中，我们就学习过这样的题目： 1111 1 22 33 44 5 + ，如果直接 通分计算，是对的，但是显然很麻烦。我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差来计 算：原式= 1111111114 1 1223344555 +=（）（）（）（）=。通过拆分，使得一部分分数 相互抵消，从而简便计算。两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化为分子是 1 的分数来计 算，所以后人常把分子是 1 的分数叫做埃及分数。埃及分数在分数计算中有着重要的规律。 如 111 1 (1)1 1111 (2)()( ,) 1111 (3)()( , ,) 2 1111 (4)()( , , ,) 3 aaaa a bab ababba a b cabc abcabbc a b c dabcd abcdabcbcd = + =，可知：甲数较多的部分与乙数较少的部分相等，所以乙数大于甲数。 方法 2， 图解法 从图中很容易看出，黑色部分是相等的部分，而乙数大于甲数。如果把相等的部分都 平均分成 12 份，使每一份的大小都相等，则甲数平均分为 15 份，乙数平均分为 16 份，乙 数大于甲数。还可以得出甲乙两数之间的关系：甲数占乙数的 16 15 ，乙数是甲数的 15 16 倍。 方法 3， 用具体数字举例 假设甲数是 30，则乙数=32 4 3 5 4 30=，乙数大于甲数。 方法 4， 代数法 根据已知条件可以得到下面这个等式：甲数 5 4 =乙数 4 3 ，等式两边同时乘以 4 和 5 的最 小公倍数 20 可得：甲数16=乙数15，写成比例式：甲数：乙数=15：16，于是可得甲乙 两数之间的关系：甲数占乙数的 16 15 ，乙数是甲数的 15 16 倍。 我们不难总结出一个规律而得到甲乙两数的关系： 以甲为单位“1” ：乙数是甲数的 15 16 4 3 5 4 = 以乙为单位“1” ：甲数是乙数的 16 15 5 4 4 3 =。 典型题解典型题解 例 1哥哥和弟弟共有人民币 19.8 元， 哥哥用去自己钱数的 75%， 弟弟用去自己钱数的 80%， 两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？ 分析：由题意可知，弟弟钱数的（1-75%）与弟弟钱数的（1-80%）相等，通过基本训练中掌 23 握的方法可以找到兄弟二人钱数之间的关系， 哥哥的钱数是弟弟的 （1-80%）（1-75%） = 5 4 ， 与 19.8 对应的分率是兄弟二人分率之和 5 4 1+。 因此， 弟弟钱数为11) 5 4 1(8 .19=+（元）， 哥哥的钱数是8.8118.19=（元） 。 解法一：11%)751(%)801(1 8 . 19=+（元） 8 . 8118 .19=（元） 解法二：8 . 8%)801(%)751(1 8 . 19=+（元） （想一想，单位“1”代表那种量） 答：哥哥原来有 8.8 元。 试一试，还有不同的解法吗？ 例 2甲、乙两个班共有 120 人，甲班人数的 5 2 比乙班人数的 7 3 少 10 人，两个班各有多少 人？ 分析已知条件中的两个分率对应的是不同的单位 “1” 。 由甲班人数的 5 2 比乙班人数的 7 3 少 10 人已知：给甲的每个 5 1 都添上5210=人，即给甲的人数添上2555=人，这时总人 数为 120+25 人，可使得甲班人数的 5 2 与乙班人数的 7 3 相等，乙班人数占甲班人数的 15 14 7 3 5 2 =，两班人数的和占甲班人数的 15 14 1+，这与 120+25 相对应，用除法计算可得单 位“1”甲班的人数，但不要忘记减去后添上的 25 人。 解答 15 29 145 ) 15 14 1(145 ) 7 3 5 2 1()5210120( = += + =75（人） 50521075=（人） 7050120=（人） 答：甲班原有 50 人，乙班原有 70 人。 例 3柳荫街小学的校园里，原来柳树的棵树是全校树木总棵树的 5 2 。今年又种了 50 棵柳 树。这样，柳树的棵树就占全校树木总棵树的 11 5 。柳荫街小学原来一共有多少棵树？ 分析题目中两个分数的单位“1”是不同的，需要统一单位“1” 。由已知条件可知：其它 树木的数量是不变的，说明原来树木的 1- 5 2 与现在树木的 1- 11 5 相等。以原来树木的棵树 为单位“1” ，即现在树木的棵树占原来的 10 11 ) 11 5 1() 5 2 1(=；以现在树木的数量为单 24 位“1” ，即原来树木的棵树占现在的 11 10 ) 5 2 1() 11 5 1(=。 解法 1以原来树木的棵树为单位“1” 1) 11 5 1() 5 2 1(50 1 10 11 50= 10 1 50= 500=（棵） 解法 2以现在树木的数量为单位“1” ) 5 2 1() 11 5 1(150 11 10 150= 11 1 50= 550=（棵） 550-50=500（棵） 解法 3以不变量其它树木的棵树为单位“1” ) 35 2 511 5 (50 6 1 50= 300=（棵） ) 5 2 1(300 5 3 300= 500=（棵） 答：柳荫树小学原有 500 棵树。 例 4水果店运进一批桔子，第一天卖出全部的 6 1 ，第二天卖了 24 千克，第三天卖的是前 两天总数的 150%，这时还剩下全部的 4 1 ，水果店运进的这批桔子共有多少千克？ 分析题目中有两个不同的单位 “1” ， 需要统一成以水果店运进的这批桔子的总数为单位 “1” 。第三天卖出全部的 6 1 %150及（%15024）千克。 解答) 4 1 %150 6 1 6 1 1(%)1502424(+ ) 4 1 4 1 6 1 1()3624(+= 3 1 60= 25 180=（千克） 答：水果店运进的这批桔子共有 180 千克。 例 5有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10%，甲店按 20%的利润率来定 价，乙店按 15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜 11.2 元。问甲店的进货价是 多少元？ 分析：设乙店的进货价为单位“1” ，则甲店的进货价就是（1-10%） ，甲店的定价为 08 . 1 %)201(10%)-(1=+，乙店的定价为15 . 1 %)151(1=+，与 11.2 对应的分率就 是 1.15 与 1.08 的差。 解答：160%)201(%)101(%)151(1 2 . 11=+（元） 144%)101 (160=（元） 答：甲店的进货价为 144 元。 说明：以上例题所给出的全部是算术解法，许多题目用方程来解也很方便，方程解法也是一 个十分重要的解题思路， 由于在五年级教材中及后面的章节中都已讲到， 在此没有给出方程 的解法，就留给同学们思考吧，一题多解可是提高解题能力的一条重要途径哟！ 例 6某商店原来将一批苹果按 100%的利润价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按 38%的利润重新定价，这样售出了 40%。此时因害怕果腐烂变质，又再次降价，售出了剩下 的全部水果。结果，实际获得的总利润是原来利润的 30.2%，那么第二次降价后的价格是原 来的百分之几？ 解答：设第二次降价是按 x%的利润定价的，有总利润的方程： 38% 40% (140%)30.2%x+= 25x= 所以第二次降价后的价格是原定价的（1+25%）2=62.5% 答：第二次降价后的价格是原定价的 62.5% 26 课后自测： 1修路队修一条公路，第一天修了全长的 1 5 ，第二天修的长度与第一天的比是 4：3，这时 还剩下 800 米没修，这条公路全长多少米？ 2某服装厂有三个车间，其中二车间人数占全厂人数的 25%，三车间比二车间少 1 5 ，一车 间人数比三车间多 3 10 ，一车间有 130 人，这个服装厂共有多少人？ 3姐妹共养兔子 180 只。已知姐姐养的只数的 1 4 与妹妹的 1 5 相等，姐妹各养多少只兔子？ 4在学校阅览室里，女生占全部人数的 4 9 ，后来又进来两名女生，这是女生占全部总人数 的 9 19 ，阅览室原来有多少人？ 5某校有学生 465 人，其中女生的 2 3 比男生的 4 5 少 20 人，那么男生比女生少多少人？ 6甲乙两人共做了 84 个零件，其中甲做的 5 8 与乙做的 3 4 共 58 个，甲乙两人各做了多少个 零件？ 7兄弟四人合买一台电视机，老大出的钱数是另外三人总数的一半，老二出了另外三人总 数的 1 3 ，老三出了另外三人总数的 1 4 ，老四出了 910 元，这台电视机共多少元？ 8有一桶汽油，第一次用了 12 升，第二次用了剩下的 1 5 ，第三次用了全桶油的一半，正好 用完，第二次用了多少升？ 9把 100 人分成四队，一队人数是二队人数的 1 13倍，一队人数是三队人数的 1 1 4 倍，那么 四队有多少人？ 10 某校四年级有两个班， 现在要重新编为三个班， 将原一班人数的 1 3 与原二班人数的 1 4 组 成新一班，将原一班的 1 4 与原二班的 1 3 组成新二班，余下的 30 人组成新三班。如果新一班 的人数比新二班的人数多 10%，那么原一班有多少人？ 27 第七讲第七讲生活中的经济问题生活中的经济问题 学习提示：学习提示： 经济与数学有着千丝万缕的联系， 在我们的日常生活中， 数学已不再是单纯的用作计数 或统计，还常用于对经济活动中的一些复杂现象进行分析，例如：物价与工资、银行储蓄、 购房与买车、股票与债券、保险等等，利用数学的知识与方法进行分析，将有助于我们理解 这些经济活动，找出其中的规律，做出决策。 典型题解典型题解 例 1 问题：有关商场打折问题：有关商场打折 一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价，又以 8 折（即按标价的 80%）优惠卖 出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本是多少元？ 探索解决问题的方法探索解决问题的方法 设每件设每件服装的成本价为 x 元，按照题意，有： 每件服装的标价为：； 每件服装的实际售价为：； 每件服装的利润为：； 由此，列出方程为：； 解方程，得 x=。 因此每件服装的成本价是元。 巩固练习巩固练习 （1）某种以八折的优惠价买一套服装省了 25 元，那么买这套服装实际用了（） 。 （a）31.25 元（b）60 元（c）125 元（d）100 元 （2）某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售，仍可获利 10%，则该家具的进价是 （） 。 （a）105（b）106（c）108（d）118 （3）某种商品按原价的 8 折出售仍可获利 20%，若按原价出售，则可获（） 。 （a）30%（b）40%（c）50%(d )60% 例例 2 2 2 2 问题探究问题探究 若将某商品先涨价 10%后再降价 10%,所得的价格与原先的价格相比有无变化?不少同 学会不假思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变。果真如此吗？ 某种奶粉原价 10 元/kg，先后两次降价，降价方案有三种： 方案甲：第一次降价 2%，第二次降价 4%； 方案乙：第一次降价 4%，第二次降价 2%； 方案丙：每次降价 3%； 按哪种方案降价后，现价最便宜？ 例 3 有一种商品，甲店进货价（成本价）比乙店进货价便宜 10%，甲店按 20%的利润 率来定价，乙店按 15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜 11.2 元，问：甲店的 进货价是多少元？ 分析：设乙店的进货价为单位“1” ，则甲店的进货价就是（1-10%） ，甲店的定价为 （1-10%）（1+20%）=1.08，乙店的定价是1 （1+15%）=1.15，与 11.2 对应的分率就是 1.15 与 1.08 的差。 28 解答： ()() () ()() 11.211 15%1 10%120%160( 1601 10%144 += = 元） 元 答：甲店的进货价为 144 元。 说明：以上例题所给出的全部是算术解法，许多题目用方程来解也很方便，方程解法 也是一个十分重要的解题思路， 由于在五年级教材中及后面的章节中都已讲到， 在此没有给 出方程的解法，就留给同学们思考吧，一题多解可是提高解题能力的一条重要途径哟! 例 4 某商店原来将一批苹果按 100%的利润价出售，由于定价过高，无人购买，不得不 按照 38%的利润重新定价，这样售出了 40%。此时因害怕水果腐烂变质，又再次降价，售 出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的 30.2%，那么第二次降价后的 价格是原价格的百分之几？ 解答：设第二次降价是按 x%的利润来定价的，由总利润列方程： 38% 40%x% x=25 + （1-40%）=30.2% 所以第二次降价后的价格是原定价的（1+25%） 2=62.5% 答：第二次降价后的价格是原定价格的 62.5%。 例 5 设年利率为 0.0171，某人存入银行 2000 元，3 年后获得的利息是多少？ 知识要点：储蓄问题中涉及的公式，利息知识要点：储蓄问题中涉及的公式，利息= = = =本金本金利率利率 例 6 我国 1998 年 3 月银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表 存期1 年2 年3 年5 年 年利率（%）5.225.586.216.66 老师有 20 000 元，想存入银行储蓄 5 年，可有几种储蓄方案，哪一种方案获利最多？（我 国银行实行单利法） 例 7 小华是独生子，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华 5 岁上学前一年， 就开始到银行存了一笔钱，设大学学费每年为 4000 元，四年大学共需 16000 元，设银行在 此期间存款利率不变，为了使小华到 18 岁时上大学本和利能有 16000 元，他们开始到银行 存入了多少钱？（设 1 年、3 年、5 年整存整取，定期储蓄的年利率分别为 5.22%、6.21%、 6.66%） 课后作业： 1， 一件商品按成本价提高 20%后标价，又以 9 折销售，售价为 270 元，这种商品的成本价 是多少？ 2， 某商场的电视机原价为 2500 元，现以 8 折销售，如果想使降价前后的销售额都为 10 万 元，那么销售量应增加多少？ 3， 某商品的进价是 3000 元，标价为 4500 元，商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售， 最低可以打几折售此商品？ 4， 按下列三种方法，将 100 元存入银行， 10 年后的本金和利息各是多少？（设 1 年、 3 年、 5 年整存整取，定期储蓄的年利率分别为 5.22%、6.21%、6.66%） （1）定期 1 年，每年满一年，将本利和自动转存下一年，共续存 10 年； （2）先连续存三个 3 年期，9 年后将本和利转存一年期，合计共存 10 年； （3）连续存两个 5 年期。 29 第八讲第八讲 工程问题工程问题 学习提示：学习提示： 在本讲中，我们要讨论的工程问题的主要特点是：工作总量不给出具体数量，通常把工作总 量看作单位“1” ，工作效率表示单位时间内完成工作总量的几分之一或者几分之几，然后依 据工作效率，工作时间和工作总量之间的相互关系解答应用题。 工程问题的基本数量关系是： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率 甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙效率和。 典型题解：典型题解： 例 1打印一份稿件，小丁一人打印需要 14 分钟，若和小丽合作打印需要 10 分钟完成， 如果小丽单独打印这份稿件需要多少分钟？ 分析把一份稿件的总量看作“1” ，两人合作每分钟打印这份稿件的 10 1 ，减去小丁每分 钟打印的 14 1 ，剩下的是小丽每分钟打印的这份稿件的 14 1 10 1 。最后看单位“1”里面 包含着多少个 14 1 10 1 ，就可以求出小丽的工作时间。 解答：35 14 1 10 1 1= （分钟） 答：小丽单独打印这份稿件需要 35 分钟。 例 2一项工程，甲单独做 12 天可以完成，如果甲单独做 3 天，余下的由乙去做，乙再 用 6 天可以做完。问若甲单独做 6 天，余下的工作乙要做几天？ 分析：要求“余下的工作乙要做几天” ，就要求出剩余的工作量和乙的工作效率。 解答： 8 1 63 12 1 1= 4 8 1 )6 12 1 1(=（天） 例 3客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经 2 小时 24 分钟相遇，相遇时客车比货 车多行 9.6 千米。已知客车从甲站到乙站行 4 小时 30 分钟，求客车与货车的速度 各是多少？ 分析：客车与或货车“2 小时 24 分钟相遇” ，两辆车共同行完全程需要 5 2 2小时，每小时 行驶全程的 12 5 。客车行完全程需 4 小时 30 分钟，每小时行全程的 9 2 ，由此可以求出货车 30 每小时行全程的几分之几。再找到与“客车比货车多行 9.6 千米”相对应的分率，即可求 出两车的速度。 解答： 15 1 5 2 2) 9 2 12 5 ( 9 2 = 144 15 1 6 . 9=（千米） 32 9 2 144=（千米） 28 9 2 12 5 144= （千米） 答：客车每小时行 32 千米，火车每小时行 28 千米。 例 4一件工程，甲，乙合作需 6 天完成，乙，丙合作需 9 天完成，甲，丙合作需 15 天 完成，现在甲，乙，丙三人合作需要多少天完成？ 分析：设这件工程总量为“1” ，甲，乙的工作效率之和是 6 1 ，乙，丙的工作效率之和是 9 1 ， 甲，丙的工作效率之和是 15 1 ，所以甲，乙，丙三人的工作效率之和是2 15 1 9 1 6 1 +。 根据三量之间的关系就可以求出三人合作需要的工作时间。 解答： 31 25 52 15 1 9 1 6 1 1= +（天） 答：甲，乙，丙三人合作需要 31 25