高一数学人教b版必修3学案：1.3　中国古代数学中的

1.3中国古代数学中的算法案例自主学习 学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平 自学导引1求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用_和_构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生_，这个数就是最大公约数(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2割圆术割圆术就是用_的算法来计算圆周率的一种方法3秦九韶算法把n次多项式P(x)anxnan1xn1a1xa0改写为P(x)anxnan1xn1a1xa0(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0令vk_，则递推公式为其中k1,2，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)2x55x44x33x26x1，试求当x3时的值点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x当x3时的值1更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果2秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可3割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想. 课时作业一、选择题1自然数8 251和6 105的最大公约数为()A37 B23 C47 D1112五次多项式f(x)4x53x42x3x2x，用秦九韶算法求f(2)等于()A B. C. D3下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同()A1 120,735 B385,350C385,735 D1 855,3254用秦九韶算法计算多项式f(x)5x54x43x32x2x3在x2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A6,6 B5,6 C5,5 D6,55我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率是()A准确值 B近似值C循环小数 D有理数二、填空题6228与1 995的最大公约数是_7用秦九韶算法计算多项式f(x)1235x8x279x36x45x53x6，x4时，v3的值为_8已知多项式Pn(x)a0xna1xn1an1xan.如果在一种算法中，计算x (k2,3,4，n)的值需要k1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算Pn(x0)的值共需要_次运算下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)a0，Pk1(x)xPk(x)ak1 (k0,1,2，n1)利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要_次运算三、解答题9求2 007与180的最大公约数10用秦九韶算法求多项式f(x)2x42x25x10在x10的值1.3中国古代数学中的算法案例自学导引1(1)差较小的数一对相等的数(2)whileaabbbaend2正多边形面积逐渐逼近圆面积3(anxan1)xan(k1)xankv0anvkvk1xank对点讲练例1解(1)(261,319)(261,58)(203,58)(145,58)(87,58)(29,58)(29,29)，319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数(867,408)(459,408)(51,408)(51,357)(51,306)(51,255)(51,204)(51,153)(51,102)(51,51)，1 734与816的最大公约数是512102.变式迁移1解由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减(63,98)(63,35)(28,35)(28,7)(21,7)(14,7)(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2解根据秦九韶算法多项式可改写为f(x)(2x5)x4)x3)x6)x1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v02，v12351，v21341，v3(1)330，v40366，v5(6)3119.故当x3时，多项式的值为19.变式迁移2解f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x，所以v07；v173627；v2273586；v38634262；v426233789；v5789322 369；v62 369317 108；v77 108321 324，故x3时，多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值为21 324.课时作业1A利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.2Af(x)(4x3)x2)x1)x1)x，f(2)(4(2)3)(2)2)(2)1)(2)1)(2)3D(1 855,1 120)(735,1 120)(735,385)(350,385)(350,35)，1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.4C5B6577578.n(n3)2n9解2 0071801 8271 8271801 6471 6471801 467 1 4671801 2871 2871801 107 1 107180927927180747 747180567567180387 38718020720718027 1802715315327126 1262799992772 722745452718 271891899所以2 007与180的最大公约数为9.10解把多项式改写成以下形式：f(x)2x40