2012年初中八年级下册数学北京课改版课件第十七章《一元二次方程》_12

第十七章 一元二次方程 教学内容 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) (x1、x2是它的两个根) （一）解法 1直接开平方 2配方法 3公式法 求根公式 x= 4因式分解法 （二）判别式： b2_4ac0 方程有两个不等实根 b2_4ac=0 方程有两个相等实根 b2_4ac0 方程没有实根 a acbb 2 4 2 - （三）根与系数关系 ax2+bx+c=0 (a0) (x1、x2是它的两个根) x1+x2 = x1x2 = (四) 可化为一元二次方程的分式方程 （五）二元二次方程组 1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 2由两个二元二次方程组成 a b - a c 二、本章重点 1一元二次方程的解法 2可化为一元二次方程的分式方程的解法 3列方程解应用题 三、本章难点 1配方法 2列方程解应用题 3分式方程的增根和验根问题 四、本章的关键 熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。 一元二次方程 应注意以下五个方面： 通过化简后，只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2，系数不等于0的整式方程 叫一元二次方程。 解题规律： （1）是否为一元二次方程应依据定义来判定； （2）“未知数的最高次数是2”是对化成一般 形式之后而言的。 1（2003）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A 3(x+1)2=2(x+1) B C ax2+bx+c=0 D x2+2x=x2-1 02 11 =-+ x x2 2（2002）方程（m+2）xm+3mx+1=0是 关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） 注意： 求字母系数的值（或范围），要防止 漏条件，尤其是隐含条件。 3（2003）如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根， 并且a0,求 的值。（填序号） ab a+b a-b a b 4。已知7x2+5y2=12xy,并且xy 0，求 的值 。 xy x+y x-y y x 说明： 关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程的条件 是a0，反过来，“一元二次方程”这个说法中则包 含a0的条件。 例方程（k-5）(k-3)xk-2+(k-3)x+5=0 （1）k为何值时，此方程为一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程为一元二次方程? 直接开平方法： 用直接开平方法求解的方程的特征是： 方程的一边是一个含有未知数的式的平方， 另一边是一个大于或等于零的常数（若为负 数，则无实根），形式如方程（ax+b）2=c (c0) 注意问题： 1方程的两边应同时开平方，如方程 （x+2）2=3，两边同时开平方得x+2= , 而不是得x+2=3的错误结果； 3 2开平方后，方程的一边应有“”号， 即有相等或互为相反数的两种情况。 配方法： 设法将一元二次方程配成（x+m）2=n的 形式，再利用直接开平方法求解，这种解 一元二次方程的方法叫配方法。其理论依 据是a22ab+b2 = (ab)2 ，这里a2相当于x2 ， 2ab相当于一次项，2b就相当于一次项 系数，因此b2就是一次项系数一半的平方了 。 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化为ax2+bx+c=0(a0)的形式； （2）方程两边同除以二次项系数，使二次项 系数为1，并把常数项移到方程右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）方程左边写成完全平方式，右边化简为一 个常数； （5）用直接开平方法求解。 注意问题 （1）方程两边同时加上一次项系数一半的 平方的前提是二次项系数为1； （2）不要将完全平方公式用错，如 而不是 或 2 2 ) 8 1 ( 64 1 4 1 +=+xxx 2 ) 8 1 ( - x 2 ) 2 1 ( + x 公式法： 用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化成一般式，进而确定a、b、 c的值（注意符号）； （2）求出b2-4ac的值,（若b2-4ac0,方程 无实数根)； （3）在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的 值代入公式进行计算，最后写出方程 的根。 注意事项： （1）确定a、b、c的值时，要注意符号，尤其 是a、b、c值为负数时； （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等实根， 不要认为只有一个实数根，如方程 其解应写成 x1=x2= ，而不可写成x= （3）利用求根公式解一元二次方程时， 要注意两个前提， a0 0 例 解关于x的方程：(m+1)x2+2mx+(m-3)=0 说明：“关于 x的方程”这个说法中，包含一元 一次方程和一元二次方程两种情况。解题时应 根据方程的形式对字母的取值加以讨论 （1）m+1 0 （2）m+1 0 =b2-4ac =4(2m+3) 0，m - 2 3 因式分解法 对关于x的方程ax2+bx+c=0 (a0)， 可化为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，求出方 程的根x1= , x2= 的方法，叫因式分解法。 因式分解法的理论依据是： AB A=0 或 B=0（ A、B为整式） 用因式分解法的条件是： 方程的左边易于分解，而右边等于零。 1 1 a b - 2 2 a b - 因式分解的解题步骤是： （1）化方程式为一般形式； （2）将方程左边因式分解； （3）令每个因式分别得零，得到两个一元 一次方程； （4）解两个一元一次方程得原方程的解。 因式分解法的关键是： 熟练掌握多项式因式分解的方法。 注意问题： （1）使用因式分解法的前提是方程一边等 于0。当方程一边不为0时，将导出错误的答 案。如有同学解 x2+2x=8 时，分解左边得 x(x+2)=8 ，于是得x1=2, x2=2 的错误答案。 正确的做法是，先移项，再分解(x+4)(x-2)=0， 从而得x1= -4,x2=2 (2)解方程时，不能两边同时约去含有未知数 的代数式。 例如 解方程（x-3）(2x+1)= （x-3）（3 x +5 ） 本题易犯的错误是约去方程两边的（x-3）, 将方程变为: 2x+1= 3 x +5,因而得x=-2.这样就 丢掉了x=3这个根. 本题的正确解法是: （x-3）(2x+1) -（x-3）（3 x +5) = 0 （x-3）(2x+1- 3 x 5) = 0 （x-3）(x+4）= 0 x1 =3, x2 =-4 1.(2x+3)(2x-3)=9 2. +4x-8=0 3.3 -4x-4=0 4.2 -5x+1=0 2 x 2 x 2 x 小结： 选择适当的方法解一元二次方程的关键是认真观察 方程的特征。在特征不明朗时，要先整理方程。解 题时切忌盲目下手。 习题 1解方程 (2x-1)2-3(2x-1)-4=0 2已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求出a2+b2的值 3已知3x2-7xy-20y2=0 求证 x=4y 或 3x=-5y 4. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两 个相等的实数根，则符合条件的一组的实 数值可以是m= , n= . 注意问题： 1如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个 实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种 情况； 2如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再 确定a、b、c的值； 3使用判别式的前提是方程为一元二次方程 ，即二次项系数a0；当二次项系数含字母时 ，解题时要加以考虑； 一元二次方程的根的判别式 判别式的应用 1不解方程就可以直接判定方程的根的情况； 2已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的 取值范围； 3判别或证明一元二次方程的根的性质； 4判别二次三项式ax2+bx+c(a0)能否在实数范围内分解 因式 (1) 当0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式； （2）当0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。 5和韦达定理结合，求方程中的参数和两根； 6利用判别式判别三角形的形状 例已知：a、b、c为ABC三边，且方程 a(1- x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等实根，试判