2017年全国高考数学考前复习大串讲专题1.2函数概念与基本初等函数( 含答案)

【知识网络】 【考点聚焦】 内 容 要 求 A B C 2函数概念 与基本初 等函数 函数的概念 函数的基本性质 指数与对数 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 一、 函数的概念 1.【原题】 （必修 1第二十四页习题 画出下列函数的图象： （ 1） 0 , 0 ,()1, 0 ;= 【解析】所给函数为分段函数，则可利用列表，描点，连线的方法可得函数图像 76543211234512 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12【原题解读】本题为分段函数，即 对于自变量 x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 【 变式 】（ 2015湖北高考 ） 已知符号函数1, 0, 0,1, ()上的增函数， ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a ，则（ ） A( ) x xB( ) x xC( ) ( )g x f xD( ) ( )g x f x【答案】 B. 2.【原题】 （必修 1第二十五页习题 函数 xf(x) 的函数值表示不超过的最大整数，例如， 4 ； 2 ；当 x 时，写出函数 f(x) 的解析式，并作出函数的图象 【解析】由取整函数的定义，函数解析式可化为分段函数，得；3 , 2 . 5 22 , 2 11 , 1 0( ) 0 , 0 11 , 1 22 , 2 33 , 3x 图象为；32112346 4 2 2 4 6【原题解读】本题为取整函数；是指不超过实数 作 x或 x)。 可先由取整函数的定义，利用分段函数表示出该函数的函数解析式，再画出函数图象，图象为一些线段。 【 变式 】 （ 2016北京模拟） 对于任意实数，符号 x 表示的整数部分，即 x 是不超过的最大整数，例如 22 ； 2 ； 3 函数 xy 叫做 “ 取整函数 ” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则 26 lo g3 lo g2 lo g1 lo 的值为 _. 【答案】 42. 函数的基本性质 1.【原题】 （必修 1第 四十四 页复习参考题 题） 已知函数 2( ) 4 8f x x k x 在 5,20上具有单调性，求实数的取值范围 . 【解析】 2( ) 4 8f x x k x 的对称轴8要使函数 2( ) 4 8f x x k x 在 5,20 上具有单调性，则 58k或 208k，解得的取值范围 40k 或 160k . 【原题解读】本题而二次函数含参问题，即为轴动区间定问题。可先求出二次函数含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。 【 变式 】 （ 2016 兰州模拟） 已知函数 f(x) 24(a 3)x 5 在区间 ( ， 3)上是减函数，则 ) A. 0， 34 B. 0， 34 C. 0， 34 D. 0， 34 【 答案 】 D 2.【原题】 （必修 1第四十五页复习参考题 题） 中华人民共和国个人所得税 法 规定，公民全月工资、薪金所得不超过 3500元的部分不必纳税，超过 3500元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过 1500元的部分 3% 超过 1500元至 4500元的部分 10% 超过 4500元至 9000元的部分 20% 某人一月份应交纳此项税款为 303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 【解析】由题意可建立函数关系式为； x 为当月 工资、薪金所得 ， () 0 , 0 3 5 0 0( 3 5 0 0 ) 0 . 0 3 , 3 5 0 0 5 0 0 0()1 5 0 0 0 . 0 3 ( 5 0 0 0 ) 0 . 1 , 5 0 0 0 8 0 0 01 5 0 0 0 . 0 3 3 0 0 0 0 . 1 ( 8 0 0 0 ) 0 . 2 , 8 0 0 0 1 2 5 0 0 则； ( 3 5 0 0 ) 0 . 1 3 0 3 , 6 5 3 0 答：他 当月的工资、薪金所得是 ； 6503元 【原题解读】本题涉及分段函数的应用，需要学生具有较强的数学阅读能力和建模能力。从而将所学的知识应用于实际生活之中。 【 变式 】（ 2015北京高考 ） 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015年月日 12 35000年月15日 4835600注： “ 累计里程 “ 指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A升 B升 C10升 D 12升 【答案】 B 二、 指数函数与对数函数 1.【原题】 （必修 1第五十九页习题 题） 已知下列不等式，比较 m ， n 的大小 （ 1） 22 (2) 【原题解读】本题的解决需要学生具备一定的函数思想，及能根据需要构造相应的函数，并应用函数的性质（单调性），来解决问题。 变式 【 2015银川一中模拟】 已知1 1 12 2 2l o g l o g l o ，则（ ） A 2 2 2 2a b c 2c b a 2c a b 【答案】 A. 2.【原题】 （必修 1 第七十五页习题 第 2 题） 若 3lo g 1( 04a a，且 1)a ，求实数 a 的取值范围 . 【解析】 1a 时 y 则； a 34， 得； 1a ， 01a时 y 调递减得 ； 304a 综上可得； 3( 0 , ) (1, )4a 【原题解读】本题需考虑对数函数的单调性，利用对数函数的运算性质化为同底数的对数， 再利用单调性比较真数，解出对数不等式。体现了分类思想。 变式 【 2013天津高考】 已知函数 ()定义在 R 上的偶函数 ,且在区间 0, ) 单调递增 2( l o g ) ( l o g ) 2 ( 1 )f a f ,则 A 1,2 B 10,2 C 1,22D (0,2 【答案】 C. 3.【原题】 （必修 1第七十五页习题 组第 4题） 已知函数 ( ) l o g ( 1 )af x x，( ) l o g (1 ) ( 0ag x x a ，且 1)a （ 1）求函数 ( ) ( )f x g x 定义域； （ 2）判断函数 ( ) ( )f x g x 的奇偶性，并说明理由 . 【解析】（ 1）由 10x ， 10x 得 11x ，函数 ( ) ( )f x g x 的定义域为 ( 1,1) （ 2）根据（ 1）知：函数 ( ) ( )f x g x 的定义域为 ( 1,1) 函数 ( ) ( )f x g x 的定义域关于原点对称 又 ( ) ( ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )x g x x x ( ) ( )f x g x ， ( ) ( )f x g x 是 ( 1,1) 上的偶函数 . 【原题解读】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，须考虑对数的真数必须大于 0判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断 ()的关系，进而判定达到考查运算能力以及代数恒等变换能力 变式 【 2015高考新课标】 若函数 ()2 )x x a x为偶函数，则 a _ 【答案】 1 【解析】 由题知 2 )y x a x 是奇函数，所以 22l n ( ) l n ( )x a x x a x 22l n ( ) l n 0a x x a ，解得 1a 4.【原题】 （必修 1第八十二页复习参考题 已知 3， 求证：（ 1） f x f y f x y，（ 2） ( ) ( )f x f y f x y . 【原题解读】本题已指数函数为载体，通过指数幂的运算性质，完成函数关系的证明。容易 联想到其它函数的性质，从而演化为抽象函数问题。考查运算能力和抽象概括能力。 变式 【 2014 高考陕西】 下列函数中，满足 “ f x y f x f y ” 的单调递增函数是（ ） A. 12f x x B. 3f x x C. 12D. 3 【答案】 D 5.【原题】 （必修 1第八十三页复习参考题 对于函数 221() xf x a （ （ 1）探索函数 () 2）是否存在实数使 () 【解析】 （ 1） 221() xf x a 在 ( , )x 上是增函数 证明 ： 任取12, ( , ) ， 且12 12( ) ( )f x f x12222 1 2 1 12 22 x12 21 x)12)(12()22(21221 因为12, ( , ) ，所以 212 1 0 , 2 1 0 又因为12所以 21 22 ，即 122 2 0，所以12( ) ( ) 0f x f x ， 即12( ) ( )f x f x，所以函数 221() xf x a 在 ( , ) 上是增函数 （ 2）假设存在实数使 ()则 () ()0， 即 22 02 1 2 1 ，所以 112 1 2 1 2112 1 2 1， 即存在实数 1a 使 1(1) 2 为奇函数 【原题解读】 本题为指数型函数，确定函数的单调性一是利用定义来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的关系来解决已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决问题考查学生运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的 变式【 2015山东高考】 若函数 21()2a 是奇函数，则使 ( ) 3成立的的取值范围为（ ） A ( , 1) B ( 1,0) C (0,1) D (1, ) 【答案】 C 幂函数 1.【原题】 （必修 1第八十 二 页复习参考题 0题） 已知幂函数 )(的图象过点 2(2, )2，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性 . 【解析】 设 )( 则 ，解得21m， 所以 )( 21x ，定义域为 ),0( ，是非奇非偶函数， 021- ， )( ),0( 是减函数，图像如下： 【解读】由题为根据条件求幂函数的解析式并进一步研究函数的性质。可运用待定系数法，先求出函数 解析式，再利用幂函数的性质确定该函数的函数性质。注意充分利用函数图象进行直观观察和分 变式 1. 【 2016届宁夏银川二中】 已知幂函数 ()y f x 的图象过点 2(2, )2，则（ ） A (1) (2) B (1) (2) C (1) (2) D (1)f 与 (2)f 大小无法判定 【答案】 A 【解析】设 () af x x ，则 222a ， 12a，即 12()f x x ，在 (0, ) 上是减函数， 所以 (1) (2)故选 A 变式 2.【 2016届浙江省余姚中学】 已知幂函数 ()2, 2) ，则满足 ( 2 ) ( 1 )f a f a 的实数的取值范围是 【答案】 31, )2变式 3. 【 2014上海高考】 若 2132)( ，则满足 0)( 取值范围是 . 【答案】 (0,1) 三、 函数与方程 1.【原题】 （必修 1第八十八页例 1） 求函数 ( ) 6f x x x 的零点的个数 . 【解析】用计算器或计算机作出 x,f(x)的对应值表与图像如下 : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 4 由上表和图可知， f(2)0,则 f(2) f(3)0， f(3)0， f(5)0，所以在区间 2,3， 3,4， 4,5内有零点 变式 2. 【 2013天津高考】 函数 f(x) 2x 2在区间 (0,1)内的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【答案】 B 变式 3. 【 2016兰州模拟】 设函数 y y (12)x 2的图象的交点为 ( 则 端点值为连续整数的开区间 )是 _ 【答案】 (1,2) 变式 4. 【 2014山东高考】 已知函数 ( ) 2 1 , ( ) .f x x g x k x 若方程 ( ) ( )f x g x 有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. 1(0, )2B. 1( ,1)2C.(1,2) D.(2, ) 【答案】 B 【解析】由已知，函数 ( ) | 2 | 1 , ( )f x x g x k x 的图象有两个公共点， 画图可知当直线介于121: , :2l y x l y x之间时， 符合题意，故选 B . 四、 函数模型及其应用 1.【原题】 （必修 1 第九十五页例 1） 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？ 投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优；（ 1）比较三种方案每天回报量， (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量。哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 如下表：运用计算机可做出函数图像 答：从每天的回报量来看：第 1案一最多： 每 5案二最多： 第 9天以后，方案三最多； 投资 1，应选择第一种投资方案；投资 7 天，应选择第一或二种投资方案；投资 8，应选择第二种投资方案；投资 11 天（含 11 天）以上，应选择第三种投资方案。 【原题解 读】题中给出了一个现实情境，需要根据题意建立对应的函数模型，并通过对三种函数增长情况的比较（比较采用了表格，函数图象），从而做出合理的决定。同时让我们感受到三种函数，常函数，一次函数和指数型函数增长快慢差异明显。体会到数学的应用价值。 变式 【 2016 兰州模拟 】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有 20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收 益是多少万元？ 【答案】（ 1） 11( ) , ( ) , 082f x x g x x x ；（ 2） 2t 即时，收益最大 3 万元 2.【原题】 （必修 1第一百一十三页复习参考习 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，若公司本次新产品生产开始 x 月后，公司的存货量大致满足模型 33 1 2 8f x x x ，那么下次生产应在多长时间后开始？ 【解析】由题 存货量大致满足模型 33 1 2 8f x x x ，则因在库存量不足之前进行生产。即 ;由 1 1 7 0 , ( 2 ) 8 0 , ( 3 ) 3 7 0f f f ，所以应该在两个月后进行生产。 【原题解读】本题给出了一个现实背景的数学问题，需要充分理解如何运用所给的函数模型来决定生产时间。 本质上是一个函数零点的判断问题，即再函数值为负（库存不足）前进行生产。 考查了我们数学应用意识及对函数零点定义的理解和灵活运用。 变式【 2016 衡水一中】 研究表明：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使 据测， 2010年、 2011年、 2012年大气中的 009年增加了 1个可比单位、 3个可比单位、 6个可比单位 若用一个函数模拟每年 拟函数可选用二次函数 f(x)r(其中 p， q， 或函数 g(x) a c(其中 a， b， ，且又知 2014年大气中的 009年增加了 16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？ 【答案】选 f(x) 1212 3.【原题】 （必修 1第一百一十三页复习参考习 般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 【解析】 根据函数的图象和实际的意义即可判断图 为产品的数量随在单价的增加而增加，产值就有很大的增加，图 为产品的数量随在单价的降低而增加，可以降低购买成本 【 原题解读 】本题考查了函数图象的识别和实际问题的应用 。需要我们既要能够准确的读出函数图象的含义，同时又要习惯与函数图象的表达方式。 变式 【 2015 北京高考 】 汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ） A消耗 1升汽油，乙车最多可行驶 5千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车