九年级数学下学期自主招生习题

1 福建省福州市福建省福州市 20152015 届九年级数学下学期自主招生试题届九年级数学下学期自主招生试题 （满分（满分 100100 分，考试时间分，考试时间 6060 分钟）分钟） 学学 校校 姓姓 名名 准考证号准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 小题，每小小题，每小 题题 5 5 分，共分，共 3030 分分在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的项中，只有一个选项是正确的 ） 1实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简ba a的结果为（） A2abBbCba 2Db 2打开某洗衣机开关（洗衣机内无水） ，在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四 个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某 种函数关系，其函数图像大致为（） x y O x y O x y O x y O A B C D 3对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下： 年龄（岁）131415161718 人数（人）456672 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（） A17，15.5B17，16C15，15.5D16，16 4下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点ABC、均是棱的中点，现将纸盒 剪开展成平面，则展开图不可能是（） A C B A B C D 5如下图所示，矩形纸片ABCD中，2AB ，6AD ，将其折叠，使点D与点B重合，得折 ab0 2 痕EF，则tanBFE的值是（） A 7 2 B1C2D3 C A D F B C E CB xA y O C1 C2 C3 B3 B2 B1 第 5 题图 第 6 题图 6如上图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴 上，如果以对角线OB为边作第二个正方形 11 OBBC，再以对角线 1 OB为边作第三个正方形 122 OB B C，照此规律作下去，则点 2015 B的坐标为（） A 1008 2, 0B 10071007 2,2 C 10091009 2, 2D 10071007 2, 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 ） 7对正实数ab，作定义a baba，若26x，则x 8已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入 x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 1 4 ，则y与x之间的函数关系式为 9如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数 00 k ykx x ， 的图象上，A与x轴相切， B与y轴相切若点A的坐标为3 2，且A 的半径是 B的半径的2倍，则点B的坐标为 10若关于x的不等式组 623 2 4 xx ax x ， 有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是 3 11将一副三角板按下图 1 所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合已知 8ABAC，将MED绕点 A M逆时针旋转60后（如图 2） ，两个三角形重叠（阴影） 部分的面积是 B C A(M) D E A(M) C B D E 图 1 图 2 12甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已 知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了场 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 3 小题，满分小题，满分 4040 分分 ） 13 （本小题满分 13 分） 如图，过圆O直径的两端点MN、各引一条切线，在圆O上 取一点P，过O、P两点的直线交两切线于RQ、 （1）求证：NPQPMR； （2）如果圆O的半径为5，且4 PMRPNQ SS ， 求NP的长 14 （本小题满分 13 分） 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 33 42 yx与抛物线 2 1 4 yxbxc 交于A、B两点， 点A在x轴上，点B的横坐标为8 （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） 过点P作x轴的垂线，垂 足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E，设PDE的周长为l，点P的横坐标为x， 求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值 O P D E C B A y x O B A y x P O R Q N M 4 图 1 备用图 15 （本小题满分 14 分） 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数比如： 10631 图 1 16941 图 2 他们研究过图 1 中的1 3 6 10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数； 类似的，称图 2 中的1 4 9 16， ，这样的数为正方形数（四边形数） （1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为 ； （2）试证明，当k为正整数时，(1)(2)(3) 1k kkk必为正方形数； （3）记第n个k边形数为,3N n kk ，例如1, 312, 33NN，2, 44N （）试直接写出, 3N n，, 4N n的表达式； （）通过进一步的研究发现 2 31 , 5 22 N nnn， 2 , 62N nnn， ，请你推测 ,3N n kk 的表达式，并由此计算10, 24N的值 5 数学参考答案数学参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 题号题号 1 12 23 34 45 56 6 答案答案 D DA AA AB BD DA A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 7 7 32 8 835yxx是非负整数说明：不写范围不扣分 9 9 (1 6)，10101214a 111148 16 312123 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 3 小题，满分小题，满分 4040 分）分） 1313 （1）证法一：MRNQ、为圆O的切线，90OMRONQ ， MORNOQ ， RQ ， 3 分 MN为圆O的直径， 90MPN ，即90PMNPNM ， 90PNMPNQONQ ， PMNPNQ ， OMOP，PMNMPR ， MPRPNQ ， 6 分 由得NPQPMR 7 分 证法二：OPON，ONPOPN ， QPNPONONPOMPOPMOPNOMPMPN ， RMPOMPOMR ，且90OMRMPN ， RMPQPN ， 由得NPQPMR 证法三：由得NPQPMR （注：其他证法对应给分） 解：（2）由（1）知NPQPMR， P O R Q N M 6 2 PMR PNQ SPM PNS ， 10 分 设PNx，则2PMx，90MPN ， 222 MNPMPN，即 2 22 2 54xx，12 分 解得2x ，即2NP 13 分 1414 解：（1）对于 33 42 yx，当0y 时，2x ；当8x 时， 15 2 y A点坐标为(2 0)，B点坐标为 15 ( 8) 2 ，2 分 由抛物线 2 1 4 yxbxc 经过A、B两点，得 120 15 168 2 bc bc ， 解得 35 42 bc ， 2 135 442 yxx 4 分 （2）设直线AB与y轴交于点M，当0x 时， 3 2 y 3 2 OM A点坐标为(2 0)，2OA ， 22 5 2 AMOAOM 6 分 :3:4:5OM OA AM 由题意得，PDEOMA ，90AOMPED ， AOMPED 7 分 :3:4:5DE PE PD 8 分 点P是直线AB上方的抛物线上一动点， PD PDyy 22 1353313 ()()4 4424242 xxxxx ，10 分 22 121331848 (4) 542555 lxxxx 82x ，11 分 2 3 (3)15 5 lx ， 3x 时15l 最大 13 分 1515解：（1）36 4 分 （2）(1)(2)(3) 1k kkk 7 (3)(1)(2) 1k kkk 6 分 22 (3 )(32) 1kk kk 222 (3 )2(3 ) 1kkkk 22 (31)kk (1)(2)(3) 1k kkk是完全平方数，即为正方形数8 分 （3） （）( ,3)N n (1) 2 n