韦达定理在中学数学中的应用---毕业论文.doc

【标题】韦达定理在中学数学中的应用 【作者】袁 孟 俊 【关键词】韦达定理方程代数三角问题解析几何 【指导老师】秦 小 二 【专业】数学教育 【正文】1引言韦达(viete，francois，seigneurdela bigotiere)是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这种关系称之为韦达定理(vietes theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，.一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终.对韦达定理(vietes theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何等多方面.例如:赵适红1研究了韦达定理在方程和应用题中的应用；胡同祥，宋杨2主要探讨了韦达定理在方程中的应用；祝朝富3论述了韦达定理在解数学竞赛题中的应用；赵建勋4探讨了韦达定理在两角和正切公式中的应用；操礼智5、沈文锦6、吕文成7等则主要研究分析了韦达定理在解析几何中的应用，等等.但这些研究中几乎很少涉及韦达定理在三角关系中的应用，主要的研究方向停留于方程、代数、解析几何这些我们所熟悉的层面之上.有关韦达定理在三角关系中的应用至今还没有实质性的结果，有待我们去研究.韦达定理在三角关系中的应用是近年高考的一个命题趋向，也是试题改革的一个热点.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用，特别是在解决三角函数关系式、两角和差公式、判断三角形类别等问题中能化难为易，化繁为简.它利用了设而不求的方法进行求解，大大简化了计算步骤，同时解题的思路也比较清晰.2韦达定理的意义韦达（viete，francois，seigneurdela bigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系，给出三次方程不可约情形的三角解法2.1韦达定理的理论意义一元二次方程的根与系数关系定理是方程基本理论中的重要内容一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的一个重要内容,其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终教学中若能通过一些典型例题的分析,便可以培养学生严谨的解题习惯,对中学教学的学习起着至关重要的作用2.2韦达定理的现实意义韦达定理(vietes theorem)在中学数学中有着广泛的应用，它是初中课程中的重要定理,在整个中学阶段解题时都会经常用到它鉴于它应用的灵活性,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛而实际的应用韦达定理对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元，从而简化运算解析几何是高考的主干知识，而韦达定理又是解析几何的重要工具，因此可以说韦达定理是高考的重要内容之一3韦达定理在中学数学中的应用韦达定理(vietes theorem)是初中课程中的重要定理,但在整个中学阶段解题时都会经常用到它鉴于它应用的灵活性,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛的应用3.1韦达定理在方程中的应用韦达定理在方程中的应用主要有：求方程中的待定系数、方程根之间的一些关系、构造符合条件的方程、解方程组等3.1.1运用韦达定理求方程中的待定系数例1方程中，求为何值时，两根的平方和等于8.分析:该题条件中,两根的平方和等于8,关于两根的对称式的条件,故可利用韦达定理解题.解:设、是方程的两根，依题意得(1)(2)(3)由（3）得，再将（1）（2）代入得所以而当时，故.例2设、是关于的方程的两个实数根,且,，求和.(1996年广东省中考题)解:通过已知关系与韦达定理的联系得到两个关于、的方程，即由有（1）由有（2）联立（1）（2）得或又方程有两实根，则故即为所求.3.1.2运用韦达定理构造符合条件的方程例3已知且，求.分析：粗略分析此题无从下手，但由方程的知识及结论分析可知，结论由、两元素构成，寻找以、为根的方程构造韦达定理是关键.解：由可知，是方程的一个根由可知因而也是方程的根又，所以所以故.3.1.3运用韦达定理解方程组例4解方程组解：原方程组化为显然，与是方程的两个根，解之得，故或前一个方程组无实数解，后一个方程组的解为且检验适合，故此即为原方程组的解.3.2韦达定理在代数中的应用韦达定理在代数中的应用主要有：求代数式的值、求最值、取值范围等.3.2.1运用韦达定理求代数式的值例5已知实数、分别满足、，求的值.（2004年广东省中考题，有改动）解：依题意可知、是方程的两个实数根，所以，故.注：因为，所以、是方程的两个实数根，于是可用韦达定理来解答.若，则、是方程的某一个根，此时不可用该法求解.例6已知、是正整数，且，则=_.（2001年全国初中数学联合竞赛试题）分析：由题意，结合韦达定理的逆定理先求作以、为根的一元二次方程，再借助所构造的一元二次方程进行求解.解：由已知得，由韦达定理，可将、看作关于的一元二次方程的两根，于是=15，=8或=8，=15当=8，=15时，、是方程的两根，且，方程同时有两个正整数根所以当=15，=8时，、是方程的两根，且，而方程没有正整数根，不合题意，舍去.故=34.3.2.2运用韦达定理求最值、取值范围例7已知矩形的边长分别为和，如果总有另一矩形，使得矩形与矩形的周长之比和面积之比等于，则的最小值为_.分析与解：设矩形的边长为、，由题意知由韦达定理知、是关于的方程的两根，则因为，所以即，又，故，因而得最小值为.例8已知实数、满足，且，求的取值范围.解：记（1）（2）得由（1）得，解得由（2）得即，因此可将、看作方程的两个实数根所以，解得，于是.3.3韦达定理在某些证明中的应用韦达定理在证明中的应用主要有：证明代数恒等式、证明不等式、证明方程系数之间的某些关系等.3.3.1运用韦达定理证明代数恒等式例9设、是方程的两个根，、是方程的两个根.已知，求证：（1)(2)（19911992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明：由韦达定理得所以因为所以又同理可得所以证毕.3.3.2运用韦达定理证明不等式例10已知，其中、为实数.求证：.分析：根据题目特点构造一个一元二次方程，使不等式中涉及的量成为方程的系数，然后令.证明：因为（1）所以，于是（2）由（1）（2）知，、是方程的根因为、是实数，所以，解得同理可证，.3.3.3运用韦达定理证明方程系数之间的关系例11如果一元二次方程的两根之比为2：3，求证：.（初中代数第三册)证明：设两根为则（1）（2）由（1）（2）得，即.3.4韦达定理在解析几何中应用韦达定理在解析几何中的应用主要有：求直线方程、点的轨、弦长；解决圆锥曲线有关对称问题、定点问题、存在性问题等.3.4.1运用韦达定理求直线方程例12过点（0，1）作一直线，使它包含在两已知直线和之间的线段平分于点，求直线的方程.解：两直线、的方程可写为：设直线的方程为，代入上式得：即此方程的两个根、是与、焦点的横坐标，根据题意，由韦达定理及中点坐标公式可得：解得故直线的方程为.3.4.2运用韦达定理求点的轨迹例13已知双曲线，过点（1，2）的直线与所给双曲线交于、两点，求的中点的轨迹.解：设点坐标为，则的方程可写成参数式将其代入双曲线方程并整理得：由于为的中点，由参数的几何意义及韦达定理可得：所以，于是，故点的轨迹方程为.3.4.3运用韦达定理求弦长设直线与非退化圆锥曲线相交于、两点，则：又因为直线的斜率，于是可得弦长公式为例14为不同的值而被移动的抛物线与直线相交于、两点，求最大时的值和的最大值.解：由得所以于是故当时，3.4.4运用韦达定理解决圆锥曲线有关对称问题例15已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线椭圆上有两个不同的点关于该直线对称.解：设椭圆上两点、关于直线对称，则直线的方程可设为联立方程和，得由得（1）由韦达定理得，故所以的中点的坐标为又因为点在直线上，将点的坐标代入得（2）由（1）（2）可知.3.4.5运用韦达定理解决圆锥曲线有关定点问题例16如图1，设点、为抛物线上的动点，为坐标原点，求证：直线恒过定点.图1证明：设直线的方程为联立和，得设、，则所以因为，所以，故=，将、代得从而直线的方程为，显然直线过定点.3.4.6运用韦达定理解决圆锥曲线有关存在性问题例17设、分别是椭圆的左右焦点，问是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.解：假设存在满足条件的直线，易知点在椭圆外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点.当直线的斜率存在时，设为，则有，由方程组得依题意解得当时，设交点、，的中点为，则，所以又所以，即故不存在直线使得.3.5韦达定理在三角中的应用韦达定理在三角中的应用主要有：求边长的取值范围、判断三角形的形状、解决与方程和函数有关的三角问题、运用韦达定理（逆定理）求三角形内角、求三角形面积、证明三角中某些关系等.3.5.1运用韦达定理求边长的取值范围例18设的两边和之和为，是的中点，则的取值范围为_.（第十六届江苏省初中数学竞赛试题）解：设，则由知，则，所以，因而、是方程的两根于是解得.3.5.2运用韦达定理判断三角形的形状例19的三边、满足，试问是什么三角形（按边分类），并证明你的结论？（1988年“缙云杯”初中数学竞赛试题）证明：由题意知所以、为方程的两根所以，解得，从而，故为等腰三角形.例20在中、分别是、的对边，且、是关于的方程的两根，判断的形状.解：把方程化为一般式由韦达定理得（1）（2）（1）式平方得将（2）式代入得，即故是直角三角形.例21已知是的一个内角，且和是关于的方程的两根，判断的形状.解：由韦达定理得两边同时平方得因为，所以显然，只有，这时，故是直角三角形.3.5.3运用韦达定理解决与方程有关的三角问题例22已知、是方程的两根，求的最小值.解：题设中的一元二次方程有实数根的充要条件是，解得由韦达定理得所以因为，所以，即当时，上式等号成立，故得最小值为.例23已知的三边、符合关系式，若，.求作以、为根的一元二次方程.解：因为，所以又因为所以由，得，所以由韦达定理逆定理得所求方程为.例24如图2，在直角中，斜边.已知、是一元二次方程的两个根，求的值.图2解：设，由韦达定理得所以即解得或因为、是三角形的边长，所以，故，即，于是.3.5.4运用韦达定理解决与函数有关的三角问题例25若函数的图象过点及点，求的值.解：由题设得即由此知、是方程的两根，由韦达定理得所以下面把求值式用来表示：原式=23.5.5运用韦达定理逆定理求三角形内角例26已知的三个内角、成等差数列，且，求角、的大小.解：因为、成等差数列，所以又，所以，即，从而因为，（1）所以（2）由（1）（2）及韦达定理逆定理知、是方程的两根，将上述方程左边分解因式得，解得当时，当时，3.5.6运用韦达定理（逆定理）求三角形面积例27已知不等边中，三角形的最大边与最小边是方程的两根，求.解：因为不等边中，所以、为最大边与最小边因而、是方程的两根，所以=333于是=.例28直角三角形的周长为20，求它的最大面积.（1991年南昌市初中数学竞赛）解：设直角三角形的直角边为、，斜边为，则，所以，由韦达定理逆定理知、是方程的两个根，再由判别式定理得解得或（舍去）由此知，当时，有最大值，且=.3.5.7运用韦达定理证明三角中某些关系例29在中，、分别是、的对边，是边上一点，且，设，求证：（1）（2）图3证明：如图3所示，和中，由余弦定理有，所以，于是，、是方程的两个根由韦达定理有，.4韦达定理在应用中的思考韦达定理作为中学数学中的重要定理之一，应用十分广泛，但由于通常对于韦达定理的应用是通过大量的公式变形和混合运算来达到目的，这就需要有一定的数学基础和运算能力，而直接在定理的两个公式和推导思路中另辟蹊径，将数与数的运算先转变为字母系数间的关系，在最后一步再代入系数，“一步登天”，似乎更为便捷，也易于理解.4.1韦达定理在构造方程中的思考构造一方程，使方程两根为一元二次方程的(1)相反数；(2)3倍(1)解一：设方程的两根为、，则，因为，所以、为方程的两根，从而所求方程为.解二：对于任意一元二次方程，有所以，从而、可看作方程的根，本题中，故所求方程为.(2)解一：因为，所以从而以、为两根的方程为.解二：对于任意一元二次方程，有所以，从而以、为两根的方程为当时，所求方程为.此例中，由于构造方程的类型不外乎这几种，而搬弄字母比搬弄数字方便得多，且结果往往与一般形式有相似之处.推导过程虽同常规解法相去无几，然而当数字较繁杂时，优劣繁简一目了然.4.2对于任意一元高次方程的韦达定理的思考在初中阶段，韦达定理往往局限在一元二次方程中，事实上韦达定理的真正魅力在于对任意一元高次方程系数的处理工作，因而在构造一元高次方程中韦达定理同样显示了