2017年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合 A=y|y=2， B=x|y=3 x），则（ B=（ ） A x| 2 x 3 B x|x 2 C x|x 2 D x|x 3 2已知 i 为虚数单位，则 的实部与虚部之积等于（ ） A B C D 3九江气象台统计， 5 月 1 日浔阳区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，设 A 为下雨， B 为刮风，那么 P（ A|B） =（ ） A B C D 4 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， ，则 外接圆的面积为（ ） A 4 B 8 C 9 D 36 5双曲线 =1（ a， b 0）离心率为 ，左右焦点分别为 P 为双曲线右支上一点， 平分线为 l，点 于 l 的对称点为 Q， |2，则双曲线方程为（ ） A B =1 C =1 D 6要得到函数 y=2x+ ）得图象，只需将 y=图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 7北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即 “积之有隙 ”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共 n 层，上底由 a 下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由 cd 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为 S= （ 2b+d） a+（ b+2d）c+ （ c a）已知由若 干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ） A 83 B 84 C 85 D 86 8已知 a=b=c=2，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A c a b B b a c C a c b D a b c 9定义运算： a*b= ，则函数 f（ x） =1*2x 的图象大致为（ ） A B C D 10如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 11已知正四棱锥 S 侧棱长与底面边长都相等， E 是 中点，则成的角的余弦值为（ ） A B C D 12若 f（ x） =（ 0， ）上存在最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， C ， + ） D（ 0， + ） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答 题纸上） 13已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 1），若 （ ），则 = 14化简： = 15已知圆 x2+ 和圆 x 2） 2+（ y 2） 2=4，若点 P（ a， b）（ a 0，b 0）在两圆的公共弦上，则 的最小值为 16已知函数 f（ x） =ex+定义域是 D，关于函数 f（ x）给出下列命题： 对于任意 a （ 0， + ），函数 f（ x）是 D 上的减函数； 对于任意 a （ ， 0），函数 f（ x）存在最小值； 对于任意 a （ 0， + ），使得对于任意的 x D，都有 f（ x） 0 成立； 存在 a （ ， 0），使得函数 f（ x）有两个零点 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 若 且对任意正整数 n 满足 ，数列 前 n 项和 Sn=n2+ （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 的前 n 项和 18如图，四棱锥 P ， 0， 的等边三角形， E 是 中点 （ I）求证： 平面 明：平面 平面 19某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各 5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示： 其中一个数字被污损 （ 1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率 （ 2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅现从观看该节目的观众中随机统计了 4 位观众的周均学习成语知识的时间 y（单 位：小时）与年龄 x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示） 年龄 x（岁） 20 30 40 50 周均学习成语知识时间 y（小时） 4 表中数据，试求线性回归方程 = x+ ，并预测年龄为 55 岁观众周均学习成语知识时间 参考公式： = ， = x 20已知圆 x+ ） 2+ 与圆 x ） 2+，以圆 圆心分别为左右焦点的椭圆 C： + =1（ a b 0）经过两圆的交点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）直线 x=2 上有两点 M、 N（ M 在 第一象限）满足 =0，直线 于点 Q，当 |小时，求线段 长 21函数 ， （ ）讨论 f（ x）的极值点的个数； （ ）若对于任意 x （ 0， + ），总有 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，倾斜角为 （ ）的直线 l 的参数方程为（ t 为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4 （ I）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）已知点 P（ 1， 0）若点 M 的极坐标为（ 1， ），直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A， B 两点，设线段 中点为 Q，求 |值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 1|+a|x+2| （ ）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 5 的解集； （ ）当 a 1 时，若 f（ x）的图象与 x 轴围成的三角形面积等于 6，求 a 的值 2017 年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有 一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合 A=y|y=2， B=x|y=3 x），则（ B=（ ） A x| 2 x 3 B x|x 2 C x|x 2 D x|x 3 【考点】 1H：交、并、补集的混合运算 【分析】 求函数的值域得集合 A，求定义域得集合 B，再根据补集与交集的定义写出（ B 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=y|y=2=y|y 2， x|x 2， 又 B=x|y=3 x） =x|3 x 0=x|x 3， （ B=x|x 2 故选： C 2已知 i 为虚数单位，则 的实部与虚部之积等于（ ） A B C D 【考点】 数代数形式的乘除运算； 数的基本概念 【分析】 先对所给的复数分子分母同乘以 1+i，再进行化简整理出实部和虚部，即求出它们的乘积， 【解答】 解： = = ， 所求的实部与虚部之积是 故选 A 3九江气象台统计， 5 月 1 日浔阳区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，设 A 为下雨， B 为刮风，那么 P（ A|B） =（ ） A B C D 【考点】 件概率与独立事件 【分析】 确定 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ = ，再利用条件概率公式，即可求得结论 【解答】 解：由题意 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ = ， P（ A|B） = = = ， 故选 B 4 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， ，则 外接圆的面积为（ ） A 4 B 8 C 9 D 36 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】 由余弦定理 化简已知等式可求 c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解 【解答】 解： ， 由余弦定理可得： b +a =2，整理解得： c=2， 又 ，可得： = ， 设三角形的外接圆的半径为 R，则 2R= = =6，可得： R=3， 外接圆的面积 S= 故选： C 5双曲线 =1（ a， b 0）离心率为 ，左右焦点分别为 P 为双曲线右支上一点， 平分线为 l，点 于 l 的对称点为 Q， |2，则双曲线方程为（ ） A B =1 C =1 D 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 由题意可得直线 l 为 垂直平分线，且 Q 在 延长线上，可得|由双曲线定义可得 a=1，再由离心率公式可得 c，由a， b， c 的关系，可得 b 的值，进而得到所求双曲线的方程 【解答】 解：由 平分线为 l，点 于 l 的对称点为 Q， 可得直线 l 为 垂直平分 线，且 Q 在 延长线上， 可得 | 即 | | 由双曲线的定义可得 | |2a， 由 |2，可得 a=1， 由 e= = ，可得 c= ， b= = ， 则双曲线的方程为 =1 故选： B 6要得到函数 y=2x+ ）得图象，只需将 y=图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 【考点】 数 y=x+）的图 象变换 【分析】 利用图象的平移变换规律可得答案 【解答】 解： y=2x+ ） =x+ ）， 所以，要得到函数 y=2x+ ）得图象，只需将 y=图象向左平移个单位， 故选 D 7北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即 “积之有隙 ”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共 n 层，上底由 a 下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由 cd 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为 S= （ 2b+d） a+（ b+2d）c+ （ c a）已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ） A 83 B 84 C 85 D 86 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 由题意， a=3， b=1， c=7， d=5， n=5，代入公式，即可得出结论 【解答】 解：由题意， a=3， b=1， c=7， d=5， n=5， S= （ 2b+d） a+（ b+2d）c+ （ c a） =85， 故选 C 8已知 a=b=c=2，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A c a b B b a c C a c b D a b c 【考点】 4M：对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=0， 0 b=1， c=2 ， a b c 故选： D 9定义运算： a*b= ，则函数 f（ x） =1*2x 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 3O：函数的图象 【分析】 利用新的定义求解，首先判断 2x 与 1 的大小关系，分类讨论； 【解答】 解： a*b= ， 若 x 0 可得， 2x 1， f（ x） =1*2x=1； 若 x 0 可得， 2x 1， g（ x） =1*2x=2x， 当 x 0 时， 2x 1， 故选： A 10如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，当 k=0 时，不满足 条件 k 0，退出循环，输出 S 的值为 a0+a1+a2+ 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 k=3， S= 满足条件 k 0，执行循环体， k=2， S=a2+ 满足条件 k 0，执行循环体， k=1， S=a1+a2+ 满足条件 k 0，执行循环体， k=0， S=a0+a1+a2+， 不满足条件 k 0，退出循环，输出 S 的值为 a0+a1+a2+ 故选： C 11已知正四棱锥 S 侧棱长与底面边长都相等， E 是 中点，则成的角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 面直线及其所成的角 【分析】 由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解 【解答】 解：建立如图所示坐标系， 令正四棱锥的棱长为 2，则 A（ 1， 1， 0）， D（ 1， 1， 0）， S（ 0， 0， ）， E ， = ， =（ 1， 1， ） = 故选 C 12若 f（ x） =（ 0， ）上存在最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， C ， + ） D（ 0， + ） 【考点】 角函数的最值 【分析】 设 t= x （ 0， ）和正弦函数的性质求出 t 的范围，将 t 代入 f（ x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：设 t= x （ 0， ）得 t （ 0， 1， f（ x） =a（ 1 f（ x）变 为： y=a， 则 y=32at=t（ 3t 2a）， 由 y=0得， t=0 或 t= ， f（ x） =（ 0， ）上存在最小值， 函数 y=a 在（ 0， 1上递减或先减后增， 即 0，得 a 0， 实数 a 的取值范围是（ 0， + ）， 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 1），若 （ ），则 = 【考点】 9J：平面向量的坐标运算 【分析】 利用向量共线定理即可得出 【解答】 解： =（ 1 x， 3）， （ ）， 2（ 1 x） 3=0，解得 x= 则 = 2= 故答案为： 14化简： = 2 【考点】 角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式，二倍角公式化简即可 【解答】 解：由= = 故答案为： 2 15已知圆 x2+ 和圆 x 2） 2+（ y 2） 2=4，若点 P（ a， b）（ a 0，b 0）在两圆的公共弦上，则 的最小值为 8 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】 求出两圆的公共弦，再利用基本不等式，即可得出结论 【解答】 解：由题意，两圆的方程相减，可得 x+y=2， 点 P（ a， b）（ a 0， b 0）在两圆的公共弦上， a+b=2， = （ ）（ a+b） = （ 10+ + ） =8， 当且仅当 = ，即 b=3a 时，取等号， 的最小值为 8， 故答案为 8 16已知函数 f（ x） =ex+定义域是 D，关于函数 f（ x）给出下列命题： 对于任意 a （ 0， + ），函数 f（ x）是 D 上的减函数； 对于任意 a （ ， 0），函数 f（ x）存在最小值； 对于任意 a （ 0， + ），使得对于任意的 x D，都有 f（ x） 0 成立； 存在 a （ ， 0），使得函数 f（ x）有两个零点 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系； 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根 【解答】 解：由对数函数知：函数的定义域为：（ 0， + ）， f（ x） = a （ 0， + ） f（ x） = 0，是增函数所以 不正确， a （ ， 0）， 存在 x 有 f（ x） =0，可以判断函数有最小值， 正确 画出函数 y=y=图象，如图：显然不正确 令函数 y=y=以存在 a （ ， 0）， f（ x） =ex+有两个根，正确 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 若 且对任意正整数 n 满足 ，数列 前 n 项和 Sn=n2+ （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 的前 n 项和 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】 （ ）由已知可得数列 公差为 2 的等差数列，由等差数列的通项公式求 入 Sn=n2+用 1=n 2）求通项公式； （ ）首先求出 n 2 时，由裂项相消法求数列 的前 n 项和 【解答】 解：（ ）由题意知数列 公差为 2 的等差数列， 又 ， +2（ n 1） =2n+1 列 前 n 项和 Sn=n2+an=n+1=（ n+1） 2 当 n=1 时， 1=4； 当 n 2 时， 上式对 不成立 数列 通项公式： ； （ ） n=1 时， ； n 2 时， ， n=1 仍然适合上式 综上， 18如图，四棱锥 P ， 0， 的等边三角形， E 是 中点 （ I）求证： 平面 明：平面 平面 【考点】 面与平面垂直的判定； 线与平面平行的判定 【分析】 （ ）证明 E，推出 后证明 平面 （ ）连接 O，连 明 平面 为 D，所以 平面 可证明平面 平面 【解答】 证明：（ ）因为 0， E 是 中点 所以 E 所以四边形 平行四边形， 所以 面 面 平面 （ ）连接 O，连 则 正方形，所以 因为 B=2， O 是 点，所以 ， 0， 即 因为 ，所以 平面 因为 以 平面 又 面 以平面 平面 19某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各 5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示： 其中一个数字被污损 （ 1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率 （ 2）随 着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅现从观看该节目的观众中随机统计了 4 位观众的周均学习成语知识的时间 y（单位：小时）与年龄 x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示） 年龄 x（岁） 20 30 40 50 周均学习成语知识时间 y（小时） 4 表中数据，试求线性回归方程 = x+ ，并预测年龄为 55 岁观众周均学习成语知识时间 参考公式： = ， = x 【考点】 性回归方程 【分析】 （ 1）求出基本事件的个数，即可求出概率； （ 2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为 55 岁观众周均学习成语知识时间 【解答】 解：（ 1）设被污损的数字为 a，则 a 有 10 种情况 令 88+89+90+91+92 83+83+97+90+a+99，则 a 8， 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有 8 种情况， 其概率为 = ； （ 2）由表中数据得 =35， = = = = ，= = x+ x=55 时， =时 可预测年龄为 55 观众周均学习成语知识时间为 时 20已知圆 x+ ） 2+ 与圆 x ） 2+，以圆 圆心分别为左右焦点的椭圆 C： + =1（ a b 0）经过两圆的交点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）直线 x=2 上有两点 M、 N（ M 在第一象限）满足 =0，直线 于点 Q，当 |小时，求线段 长 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）由题意， c= ，两圆的交点坐标为（ ， ），代入椭圆方程可得 =1，联立 a2+，求出 a， b，即可得到椭圆方程； （ 2）求出 M， N 的坐标，利用基本不等式求出 |最小值，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）由题意， c= ，两圆的交点坐标为（ ， ）， 代入椭圆方程可得 =1， 联立 a2+，可得 ， ， 椭圆 C 的方程为 =1； （ 2）设直线 方程为 y=k（ x+ ）（ k 0），可得 M（ 2 ， 3 k）， 同理 N（ 2 ， ）， | （ 3k+ ） | 6， 当且仅当 k= 时， |得最小值 6， 此时 M（ 2 ， 3）， |6， |3， |3 21函数 ， （ ）讨论 f（ x）的极值点的个数； （ ）若对于任意 x （ 0， + ），总有 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，判断函数的极值点的个数即可； （ ）分离参数，问题转化为 对于 x 0 恒成立，设，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ） ， x 0， f（ x） a+2， + ）， 当 a+2 0，即 a 2， + ）时， f（ x） 0 对 x 0 恒成立， f（ x）在（ 0， + ）单 调增， f（ x）没有极值点； 当 a+2 0，即 a （ ， 2）时，方程 x2+=0 有两个不等正数解 x1， 不妨设 0 当 x （ 0， ， f（ x） 0， f（ x）增； x （ ， f（ x） 0， f（ x）减； x （ + ）时， f（ x） 0， f（ x）增， 所以 别为 f（ x）极大值点和极小值点， f（ x）有两个极值点 综上所述，当 a 2， + ）时， f（ x）没有极值点； 当 a （ ， 2）时， f（ x）有两个极值点 （ ） f（ x） g（ x） x 0， 即 对于 x 0 恒成立， 设 ， x 0， x （ 0， 1）时， （ x） 0， （ x）减， x （ 1， + ）时， （ x） 0， （ x）增， （ x） （ 1） =e+1， a e+1 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，倾斜角为 （ ）的直线 l 的参数方程为（ t 为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4 （ I）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）已知点 P（ 1， 0）若点 M 的极坐标为（ 1， ），直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A， B 两点，设线段 中点为 Q，求 |值 【考点】 数方程化成普通方程； 单曲线的极坐标方程 【分析】 （ ）直线 l 的参数方程消