七年级数学思维探究（六）一元一次方程（含答案）

秦九韶（ 1202 字道古，南宋时期著名数学家， 数学九章 是他的代表著作，他对“大衍求一术”（整数论中的一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被称为“中国剩余定理”，后者被称为“秦九韶程序” 美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一 ” 6 一元一次方程 解读课标 方程是刻画现实世界的有效数学模型 一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础 其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤 在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程 代解是处理方程的解的基本方法 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化为 ax b 的形式 方程的解由 a 、 b 的取值范围确定，具体情形如下： 1 当 0a 时，原方程有唯一解 2 当 0a 且 0b 时，原方程有无数个解； 3 当 0a 且 0b 时，原方程无解 问题解决 例 1 若以 x 为未知数的方程 3 2 0与 2 3 13 0 的解相同，则 a _ 试一试 由 “解相同 ”建立关于 a 的方程 例 2 若 k 为整数，则使得方程 1 9 9 9 2 0 0 1 2 0 0 0k x x 的解也是整数的 k 值有 （ ） A 4 个 B 8 个 C 12个 D 16个 试一试 把 x 用含 k 的式子表示，结合整除的知识确定 k 值的个数 例 3 解下列方程 （ 1） 3 1 3 3 34 4 7 1 6 7x x x x ； （ 2） 0 . 3 0 . 8 0 . 0 2 0 . 3 0 . 8 0 . 410 . 5 0 . 3 3x x x ； （ 3） 1 1 1 1 3 3 3 3 02 2 2 2 x 试一试 解方程的目的是通过变形把方程化为 的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方程 仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识，简化解方程的过程 例 4 （ 1） 解下列关于 x 的方程： 48x b ； 4a 1mx 11 234m x n x m （ 2） a 为何值时，方程 1 123 2 6 有无数多个解？无解？ 试一试 对于 （ 1） ，把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于 （ 2） ，化简原方程，利用方程 ax b 各种解的情形所应满足的条件建立 a 的关系式 例 5 （ 1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为 a ，则用含 a 的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是 _ （ 2） 现将 连 续自然数 1至 2004按图中的方式排成 一 个长方形阵列，用一个正方形框出 16个数（如图） 图中框出的这 16个数的和是 _； 302928272625242322212019181716151413121110987654321六五四三二一日 在右图中，要使一个正方形框出的 16个数之和分别等于 2000， 2004，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的 16个数中的最小数和最大数 试一试 对于 （ 2） 中 ，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题 转化为讨论方程是否存在正整数解 丢番图的墓志铭 例 6 丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元 3 世纪，被誉为 “代数学的鼻祖 ” 他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的： 过路的人！ 这儿埋葬着丢番图 请计算下列数目， 便可知他一生度过了多少个寒暑， 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年， 再过七分之一的生命旅程， 他建立了幸福的家庭， 五年后儿子出生， 不幸儿子竞先于父亲四年而终， 年龄不过父亲享年的一半， 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年， 请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？ 解法一 代数解法 设丢番图活了 x 岁，由题意得 1 1 1 1546 1 2 7 2x x x x x ， 解得 84x 解法二 算术解法 从上式所列的方程中我们可以看出，丢番图的年龄 x 是 6 和 12的倍数，也是 7 和 2 的倍数（因为年龄总是整数） 故他的年龄是 6 、 12、 7 、 2 的公倍数，而 6 、 12、 7 、 2 的公倍数，即是 12与 7 的公倍数 我们可以先求 12与 7 的最小公倍数 因为 12与 7 互质，所以它们的最小公倍数应为 12 7 84 ，其他大于84 的公倍数是不合乎常理的，如 84 2 168 ，而 168的 16 是 28 ， 28 岁就不再是童年，所以也不合题意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为 84 岁 数学冲浪 1 算筹方程 “方程 ”二字最早见于我国九章算术这部数学经典著作中，该书的第八章名 “方程 ” 在九章算术中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排 如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数 x ， y 的系数与相应的常数项，如： 2004200320022001200019991998199719964241403938373536343332311 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1416 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 3015表示方程 4 23， 表示方程 3 2 19， 表 示方程 _， 表示方程 _ 2（ 1） 对于任意有理数 a 、 b 、 c 、 d ，规定了一种运算 ab ad ，如 10 1 2 0 2 222 ，那么当 242535x 时， x _ （ 2） 当 a _， b _时，方程 1ax x b 有唯一解；当 a _， b _时，方程1ax x b 无解；当 a _， b _时，方程 1ax x b 有无穷多个解 3 已知关于 x 的方程 9 3 14x 有整数解，那么满足条件的所有整数 k _ 4 已知关于 x 的方程 4 2 3 1x m x 与方程 3 2 6 1x m x 的解相同，则方程的解为 _ 5 已知关于 x 的方程 32m x x m 的解满足 2 3 0x ，则 m 的值为 （ ） A 5 B 1 C 5 或 1 D 5 或 1 6 若关于 x 的一元一次方程 23132x k x k的解是 1x ，则 k 的值是 （ ） A 27B 1 C 1311D 0 7 已知关于 x 的方程 3 8 7 0m n x 无解，则 （ ） A 正数 B 非正数 C 负数 D 非负数 8 关于 x 的方程 3 4 1ax x 的解为正整数，则 a 的值为 （ ） A 2 B 3 C 1或 2 D 2 或 3 9 解下列关于 x 的方程 （ 1） 4 2 1 323 3 2 4x x x （ 2） 2 0 0 （ 3） 1ax （ 4） 4 4 8x b x 10 已知关于 x 的方程 1 63 2 6ax a x x ， 问当 a 取何值时 （ 1） 方程无解； （ 2） 方程有无穷多解 11 已知关于 x 的方程 323a x 的解 是 2x ，其中 0a 且 0b ，求代数式 值 思维方法天地 12 如果 1 1 1 1 2 0 0 32 6 1 2 1 2 0 0 4 ， 那么 n_ 13 如下表，从左到右在每个小格子中都填入 一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第 2011个格子中的数为 _ 3 a b c 1 2 14 已知 1x ， 5 3 23 2 2 1 0a x b x c x ，其中 : : 2 : 3 : 6，那么 32 _ 15 若 2 21 2 0a a b ，则方程 20021 1 2 2 2 0 0 1 2 0 0 1x x x xa b a b a b a b 的解是 （ ） A 2001 B 2002 C 2003 D 2004 16 下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长 29木条上钻有 6 个圆孔，每个圆孔的直径均为 两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为 则 x 为 （ ） A 2 B C D 17 若方程 2 2 6 1 5m m x x m 无解，则 m （ ） A 3 B 2 C 2 D 3 18 甲队原有 96 人，现调出 16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的 k （ k 是不等于 1 的正整数）倍还多 6 人 问乙队原有多少人？ 19 将自然数 1至 2010按图中的方式排列： 如图，用一个长方形框出 9 个数（ 3 行 3 列），已知这 9 个数的和为 17991，求这 9 个数中最小的数 应用探究乐园 20 解方程 （ 1） 2262 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8x x x ； （ 2）1234567x 21 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （ 1） 第 5 个图形有多少颗黑色棋子？ （ 2） 第几个图形有 2013颗黑色棋子？请说明理由 2 . 5 c c 个第 3 个第 2 个第 1 个6 一元一次方程 问题解决 例 1 3 例 2 D 20011x k 为整数，又 2 0 0 1 1 3 2 3 2 9 ， 1k 可取 1 ， 3 ,23 , 29 , 3 23 , 3 29 , 23 29， 2001 共 16个值，相应的 k 值也有 16个 例 3 （ 1）视 37x为整体，先去括号得 0x ； （ 2）运用分数性质将小数化为整数，得 1x ； （ 3）先去括号得 90x 例 4 （ 1） 84bx a ； 当 时，方程有唯一解 1；当 时，原方程无解； 原方程化为 4 3 4 6m x m n m ，当 34m 时，原方程有唯一解 4643mn mx m ；当 34m ， 32n时，原方程有无数个解；当 34m， 32n时，原方程无解 （ 2）原方程化为 0 6 12 当 6 12 0a，即 2a 时，原方程有无数个解； 当 6 12 0a，即 2a 时，原方程无解 例 5 （ 1） 7a ， a ， 7a （ 2） 经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于 44 ，如 31与 13， 11与33 ， 17与 27 都是成中心对称的，于是易算出这 16个数之和为 44 8 352 设框出的 16个数中最小的一个数为 a ，则这 16个数组成的正方形方框如下图所示 因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于 2 24a ，所以这 16个数之和为 8 2 2 4 1 6 1 9 2 当 16 192 2000a 时， 113a 当 16 192 2004a 时， a 为自然数， 不合题意 即框出的 16个数之和不可能等于 2004 由长方形阵列的排法可知， a 只可能在 1， 2 ， 3 ， 4 列，即 a 被 7 除的余数只可能是 1， 2 ， 3 ， 4 因为 113 16 7 1 ，所以，这 16个数之和等于 2000是可能的，这时，方框中最小的数是 113，最大的数是 113 24 137 a 1a 2a 3a 7a 8a 9a 10a 14a 15a 16a 17a 21a 22a 23a 24a 数学冲浪 1 2 32 ； 4 3 37 2 （ 1） 34（ 2）略 3 10、 26 、 8 、 8 179x k ， 9 17k ， 91k 或 17 4 0 5 D 6 B 7 B 8 D 9 （ 1） 127x； （ 2） 113x； （ 3）当 时，方程有唯一解 1；当 时，方程无解； （ 4）当 4a 时，方程有唯一解 84bx a ；当 4a 且 8b 时，方程有无数个解；当 4a 且 8b 时，方程无解 10 原方程化为 1 2 1a x a （ 1）当 1a 时，方程无解； （ 2）当 1a 时，方程有无数个解 11 71212 2003 13 3 可推得 1a ， 3c ， 2b ，填入整数后的排列是 3 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 14 643设 2， 3， 6 得 2k 15