江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（二）（5月）数学试题含答案

2016年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学试题 一、填空 题：本大题共 14 个小题 ,每小题 5 分 ,共 70 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 13A x x ， 2B x x，则 2已知 i 为虚数单位，复数1 3（ ），2 2，且121 ，则y 3下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频数分布 x ，则 x 的值为 4已知直线 2 3 0为双曲线 221（ 0a ， 0b ）的一条渐近线，则 该双曲线的离心率的值为 5据记载，在公元前 3 世纪，阿基米德已经得出了前 n 个自然数平方和的一般公式 n 个自然数平方和的算法流程图，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为 6已知1是集合 22,1x y x y所表示的区域，2是集合 ,x y y x 所表示的区域，向区域1内随机的投一个点，则该点落在区域2内的概率为 7已知等比数列 n 项和为比 3q ，34533，则3a 8已知直四棱柱底面 是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 23，则该直四棱柱的侧面积为 9已知 是第二象限角，且 3， ta n 2 ，则 10已知直线 l ： 2 1 0m x y m ，圆 C ： 22 2 4 0x y x y ，当直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时，实数 m 11在 ，角 A ， B ， C 对边分别是 a ， b ， c ，若满足 2 c o s 2 3b A c a，则角 B 的大小为 12在 ， C ， 1 AC t ， P 是 在平面内一点，若4 A B A A C 积的最小值为 13已知函数 24 , 0 ,3, 0 ,x x 若函数 3g x f x x b 有三个零点，则实数 14已知 a ， b 均为正数，且 20ab a b ，则 2 2214a 的最小值为 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15已知向量 3 c o s , 1 2s i n , c o sn x xr . （ 1）当3x 时，求 mnur r 的值； （ 2）若 0,4x ，且 3132 ur r ，求 值 . 16如图，在四面体 ，平面 平面 E ， F ， G 分别为 中点， C ， 90o . （ 1）求证： 平面 （ 2）若 P 为 任一点，证明 平面 17某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w （单位：百千克）与肥料费用 x （单位：百元）满足如下关系： 341w x，且投入的肥料费用不超过 5 百元 需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 2x 百元 市场售价为 16 元 /千克（即 16百元 /百千克），且市场需求始终供不应求 位：百元） . （ 1）求利润函数 写出定义域； （ 2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18已知函数 3x a x b x， a ， b 为实数， 0b ， e 为自然对数的底数，e L . （ 1）当 0a ， 1b 时，设函数 （ 2）若关于 x 的方程 0在区间 1,e 上有两个不同实数解，求 19已知椭圆 C ： 221（ 0 ）的左焦点为 1,0F ，左准线方程为 2x . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点 . 若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F ，交 y 轴于点 P ，且满足 F F求证： 为定值； 若 B （ O 为原点），求 积 的取值范围 . 20已知数列 a， 2142，其中 *， ， 为非零常数 . （ 1）若 3 ， 8 ，求证： 1为等比数列，并求数列 （ 2）若数列 求实数 ， 的值； 数列 n 项和 试问：是否存在首项为1得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由 . 2016年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学（附加）试题 21【选做题】本题包括 A， B， C， D 四小题，每小题 10 分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分 明过程或演算步骤 . 何证明选讲 如图，直线 圆 O 于点 D ，直线 圆 O 于 A ， B 两点， B 于点 C ，且2E ，求证： 23C . 阵与变换 已知矩阵 13 一个特征值 1 1 及对应的特征向量 11er . 求矩阵 逆矩阵 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系 2 c o s ,3 2 s i （ 0, 2 ， 为参数），曲线2s i n3 a（ ） 实数 a 的值 . 等式选讲 已 知 a ， b ， c 为正实数，求证： 2 2 2b c aa b c . 【必做题】第 22， 23 题，每小题 10 分，共 20 分，请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22已知袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球 个白球、红球和黄球的分值分 别是 0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中 n 局得 *）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束 . （ 1）求在一局游戏中得 3 分的概率； （ 2）求游戏结束时局数 X 的分布列和数学期望 23已知 01 1 n nf x C x C x 1 x k L 1 x n L，其中 ， *， ， . （ 1）试求 1 2 3 （ 2）试猜测 n 的表达式，并证明你的结论 . 2016年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学参考答案 一、填空题 1 12 2 1 3 4 2135 14 6 347 3 8 16 2 9 1710 1 11612 3213 ,6 U 1,04 14 7 二、解答题 15解：（ 1）当3x 时， 3 ,12m 31,24n r ， 所以 ur r 3 1 14 4 2. （ 2） ur r 23 c o s s i n c o sx x x 3 1 1s i n 2 c o s 22 2 2 1s i ， 若 3132 ur r ，则 1s i n 262x 3132 ，即 3s i n 263x， 因为 0,4x ，所以 26 6 3x ，所以 6c o s 263x， 则 c o s 2 c o s 266 3c o s 262x 1s i n 2 62x 6 3 3 13 2 3 2 3 2 36 . 16解：（ 1）因为平面 平面 90 ，即 C ， 平面 面 C ， 平面 所以 平面 又 平面 所以 B ， 因为 C ， E 为 中点，所以 B ， 又 D CI ， 平面 平面 所以 平面 （ 2）连 因为 E ， F 分别为 中点， 所以 D ，又 平面 平面 所以 平面 同理可证 平面 且 G EI ， 平面 平面 所以平面 平面 又 P 为 任一点，所以 平面 所以 平面 17解：（ 1） 31 6 41Lx x2 486 4 31 （ 05x ） . （ 2） 486 4 31L x 486 7 3 11 486 7 2 3 11 43 . 当且仅当 48 311 时，即 3x 时取等号 . 故 3. 答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元 . 18解：（ 1）当 1b 时，函数 3x a x x， 则 23af x 23， 令 0 ，得3 3，因为 0a 时，3 03a， 所以 3 3ag a f 33 3a a a， 令 x x x x ， 则 x x ，令 0 ， 得 1x ， 且当 1x 时， ， 所以 （表格略），（分段写单调性即可），此时 3a . （ 2）由题意得，方程 3a x 在区间 1,e 上有两个不同实数解， 所以 3区间 1,e 上有两个不同的实数解， 即函数1 ay b图象与函数 3x图象有两个不同的交点， 因为 223 l n 1 ，令 0 ，得 3 ， 所以当 31, 时， 3 e ,， 当 3 e, 时， 33e , ， 所以 a ， b 满足的关系式为 33e ，即 33e,e . 19解：（ 1）由题设知 1c ， 2 2， 2 2， 2 2a， 2 2 2 1b a c ， C ： 2 2 12x y. （ 2）由题设知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 1y k x，则 0,设 11,A x y， 22,B x y，直线 l 代入椭圆得 2222 1 2x k x ，整理得， 2 2 21 2 4k x k x 22 2 0k ， 212 2412k ， 212 22212k . 由 F F111 ， 221 ， 1 2 1 21 2 1 221 x x x xx x x x 22224 4 41 2 1 24 2 211 2 1 24 41 （定值） . 当直线 别与坐标轴重合时，易知 面积 22S， 当直线 斜率均存在且不为零时，设 y ， 1， 设 11,A x y， 22,B x y，将 y 代入椭圆 C 得到 2 2 222x k x， 21 2221x k ， 221 2221ky k ，同理 222 222 kx k ， 22 222y k ， 面积2 222212 1 2. 令 2 1 1, ， 22 1 121112， 令 1 0,1，则212S 211924u 22,32 . 综上所述， 22,32S . 20解：（ 1）当 3 ， 8 时， 213 8 42 3 2 22 32， 1 1 3 1 . 又 10，不然1 10a ，这与1 12a 矛盾， 1为 2 为首项， 3 为公比的等比数列， 11 2 3 ， 12 3 1 . （ 2）设 1 1na a n d 1dn d ， 由 2142得 1 2 2 4， 31d n d d n 21dn d 14d n d ， 2 2 243d n d d n d 22 21d n d 21dn d 14d 对任意 *恒成立 . 令 1n ， 2， 3，解得， 1 ， 4 ， 2d . 经检验，满足题意 . 综上， 1 ， 4 ， 21. 由知 21 2 12. 设存在这样满足条件的四元子列，观察到 2017 为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数 . 1若三 个奇数一个偶数，设1S，21，21，2 则 21 2 1x 2 22 1 4 2 0 1 7 ， 2 2 22 x x y y z 1007 ，这与 1007 为奇数矛盾，不合题意舍去 . 2 若一个奇数三个偶数，设1S，2 则 2214x 224 4 2 0 1 7 ， 2 2 2 504x y z . 由 504 为偶数知， x ， y ， z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数 . 1）若 x ， y ， z 中一个偶数两个奇数，不妨设12121，121， 则 2 2 21 1 1 1 12 x y y z z 251，这与 251 为奇数矛盾 . 2）若 x ， y ， z 均为偶数，不妨设121212 则 2 2 21 1 1 126x y z ，继续奇偶分析知1x，1y，1 不妨设1221221，1221，则 22222x y y 22231. 因为 221 221为偶数，所以2妨设220 ， 当2 1x 时， 222 2 2 2y y z z 30， 22214，检验得2 0y ，2 5z ，2 1x ， 当2 3x 时， 222 2 2 2y y z z 22， 22210，检验得2 1y ，2 4z ，2 3x ， 当2 5x 时 ， 222 2 2 2y y z z 6， 2222，检验得2 0y ，2 2z ，2 5x ， 即1S，4S，8S，442S，24S，36S，20S，40 综上所述， 1 4 8 4 4, , ,S S S S， 1 1 2 2 4 3 6, , ,S S S S， 1 4 2 0 4 0, , ,S S S （第卷 理科附加卷） 21 结 设圆的半径为 R ， BE x ，则 ， 22D E BE x. 在 ， BQ ， 2O D O C O E ，即 2R O C R x ， 又 Q 直线 圆 O 于点 D ，则 2D E E，即 24 x x R x ， 23 ，代入， 2 23 C R ， 35 B C O B O C 3255 ， 23C. 题知， 1 1 13 1 3 111 1 1,3 1, 2a， 2b ， 1232M 12d e t 32M 2 2 3 4 ， 111223144M 2 233 224 c o s 4 s i n 4， 曲线 1C 的普通方程为 221 3 4 . s i n 3 a， 13s i n c o a ， 曲线 2C 的直角坐标方程为 3 2 0x y a ， 曲线1 2 23 3 3 1 2231 ， 32a ， 1a或 5a . 本不等式 2 2Q， 2 2， 2 2， 22b 2 2 2 2a ， 2 2 2b c aa b c ， 22解：（ 1）设在一局游戏中得 3 分为事件 A ， 则 1112 2 13525. 答：在一局游戏中得 3 分的概率为 25. （ 2） X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4. 在一局游戏中得 2 分的 概率为 1 2 2 12 2 2 135310C C C ， 212235115 ； 4 3 65 1 0 2 5 ； 43315 1 0 2 285 125 ； 43415 1 0 3 425 125 . 所以 1125 6 2 8342 5 1 2 5 42 337125 125. 23解：（ 1） 011 1 1 1f x C x C x 11 ； 20 2 12 2 2 1f x C x C x 222 2 222 2 1x