北京市海淀区2017届高三5月期末(二模)数学试题(文)含答案

（文科） 试卷共 4 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 2,0,1A ， | 1B x x 或 0x ，则 A. 2 B. 1 C. 2,1 D. 2,0,1 2. 在复平面内， 复数 2对应的点的坐标为 A. (1, 1) B. (1,1) C.( 1,1) D.( 1, 1) 3. 已知向量 ( ,1 ) , ( 3 , 2 )x 若 / x A. 3 B. 32324. 执行如图所示的程序框图 ， 若输入 7, 3 ，则输出的 S 为 A. 12S B. 11S C. 10S D. 6S 则 “21 是 “ 数列 增 数列 ” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 016 年 12个 月的 均浓度指数如 右 图所示 四个 季度 差最小的是 )y f x 的图 象 如图所示，则 () f x f x C. 1( ) xD. 1( ) x 第 一 季 度 第 二 季 度 第 三 季 度 第 四 季 度 y O x 开 始,0a a d0S S S a是否结 束，第 五 次输入密码正确 ， 手机解锁 次输入 的 密码中，每次都有两个数字正确 ， 但它们 各自 的位置 均 不正确 码分别为 3406， 1630， 7364， 6173，则正确 的 密码 中一定含有数字 A. 4， 6 B. 3， 6 C. 3， 7 7 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 22 19的实轴长为 _. 10. 在 32lo g 3 , 2 c o s ，这 三个数中最大的数是 _. 中， 2 3 , 4a b c ， ，则 其最大内角的余弦值为 _. 12. 设 D 为不等式 22( 1) 1 表示的平面区域，直线 30x y b 与区域 D 有公共点，则 b 的取值范围是 _. 13. 已知 O 为原点，点 P 为直线 2 2 0 上的任意一点 . 非零 向量 ( , ). 若 OPa 恒为定值，则 _. 14. 如图，在棱长为 1的正方体1 1 1 1 A B C D中，点 P 是线段1当 在平面11,C 将 它们的面积分别记为1 2 3,S S S. (i) 当 33，1“ ”或“ =”或“ ”） ； (1 2 3S S S的 最大值为 _. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) s i n 2 c o s c o s 2 s i x x x. （ ） 求 函数 () （ ） 求 函数 ()0, 2上的最 大 值 . （本小题满分 13 分） 已知 数的 等差数列 ，n 项和 ，且 24 ( 1). （ ）求12, （ ） 求数列 72最小 值 . 17.（本小题满分 13 分） 为了响应 教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见 ,某校 计划开设 八门研学旅行课程 ,并对全校学生的 选 课 意向 进行调查 (调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程 )查结果如下 . 图中 ,课程 , , , ,A B C D E 为人文类课程 ，课程 ,自然科学类课程 合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取 1%的学生作为研究样本组 (以下简称“组 M” ). ( )在 “组 M” 中，选择 人文类课程和自然科学类课程 的 人数各有多少？ ( )某地举办自然科学营活动，学校要求 ： 参加活动的学生只能是“组 M”中选择 F 课程或 G 课程的同学 ，并且这些同学 以 自愿 报名缴费的方式参加活动 . 选择 F 课程的学生中有 x 人 参加科学营活动，每人需缴纳 2000 元，选 择 G 课程的学生 中有 y 人 参加 该活动 ，每人需缴纳 1000 元 择 F 课程和 G 课程的学生自愿报名人数 的情况为 ( , )参加活动 的 学生缴纳费用总和为 S 元 . ( )当 S=4000时， 写出 ( , )所有可能取值 ； ( )若选择 G 课程的同学都参加科学营活动， 求 S 4500元的概率 . 0 课程 课程 课程 课程 课程100400300200人数（本小题满分 14 分） 如图， 在四棱 锥 P 中 , 底面 菱形， 平面 点 E 在 棱 （ ） 求证：直线 平面 （ ） 若 /面 求证： P ； （ ） 是否存在点 E ，使得四面体 A 的体积等于四面体 P 的体积的 13？若存在，求出 若不存在，请说明理由 . 19.（本小题满分 13 分） 已知函数3211( ) + 2 132f x x x x . （ ） 求函数 () （ ） 当 502a时 , 求 函数 () , 上的最大值 . 20.（本小题满分 14 分） 已知1( 1,0)F ,2(1,0) : 222 1( 03xy ）的左、右焦点 . （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 ,x 和 2x 上，且11F. ( ) 当1等腰三角形时 ,求1面积； ( ) 求点1F, 2B 距离之和的 最小值 . （ 文 科） 一、 选择题（本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B B C D 二、填空题（本大题共 6小题 ,每小题 5分 , 有两空的小题，第一空 3分，第二空 2分， 共 30分） 9 2 10 2 11. 1412. 3,1 或者 31b 13 2 14 .=， 32三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80分 ) （ ） ( ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n s i n ( 2 )5 5 5f x x x x ， 所以 () 2T . 因为 的对称轴方程为 ,2x k k Z， 令 2 ,52x k k Z， 得 7 1 ,2 0 2x k k Z()称轴方程为 7 1 ,2 0 2x k k Z. 或者： 2252和 22 ,52x k k Z，即 7 20和 3 ,20x k k Z（ ） 因为 0, 2x， 所以 2 0,x ， 所以 42 , 5 5 5x ， 所以，当 252x，即 720x时， ()0, 2 上 的最大值为 1 . 16.（本小题满分 13 分） 解： （ ） 因为 24 ( 1)， 所以，当 1n 时， 2114 ( 1)，解得 1 1a ， 所以，当 2n 时， 2224 (1 ) ( 1) ，解得 2 1a 或 2 3a ， 因为 各项为正数的等差数列，所以 2 3a ， 所以 公差 212d a a ， 所以 通项公式 1 ( 1 ) 2 1na a n d n . （ ） 因为 24 ( 1)， 所以 2 2( 2 1 1 )4n ， 所以277( 2 1 )22a n n 2 77 2 27 35()24n 所以，当 3n 或 4n 时， 72得最小值 172. 17.（本小题满分 13 分） 解： ( )选择人文类课程的人数为 (100+200+400+200+300) 1%=12(人 )； 选择自然科学类课程的人数为 (300+200+300) 1%=8(人 ). ( ) ( )当 缴纳 费用 S=4000 时， ( , )有两种 取值 情况 ： (2,0),(1,2) ; ( )设事件 :A 若 选择 G 课程的同学都参加科学营活动， 缴纳费用总和 S 超过 4500 元 . 在 “组 M” 中，选择 F 课程和 G 课程的人数分别为 3 人和 2 人 . 由于选择 G 课程的两名同学都参加， 下面考虑选择 F 课程的 3 位 同学 参加活动的情况 a 表示，不参加活动用 b 表示，则 3 名同学报名参 加 活动的情况共有以下 8 种情况： 当缴纳 费用总和 S 超过 4500 元时，选择 F 课程的同学 至少 要有 2 名同 学参加 ，有如下 4 种： 所以， 41()82. 18.（本小题满分 14 分） 解： （ ） 因为 平面 所以 D , 因为底面 菱形，所以 C ， I ， 所以 平面 （ ） 设 点为 O ，连接 因为平面 面 E ， /面 所以 /E ， 又由 菱形可知 O 为 点， 所以，在 中， 1C， 所以 P . （ ） 在 中过点 E 作 /C ，交 点 F ， 因为 平面 所以 平面 由 菱形可知 ， 假设存在点 E 满足 13A B D E P B D ，即 13E B D A P B D ，则 13C ， 所以在 中， 13C， 所以 23 19.（本小题满分 13 分） 解： （ ） 由 3211( ) + 2 132f x x x x 得 2( ) + 2 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x ， 令 ( ) 0，得 122, 1 ， ( ), ( )f x f x 的情况如下表： x ( , 2) 2 ( 2,1) 1 (1, ) () 0 0 + () 极大 极 小 Z 所以函数 () , 2 ), (1, ) ，单调减区间为 ( 2,1) . （ ） 由 3211( ) + 2 132f x x x x 可得 13( 2)3f . 当 2a 即 522a时，由 （ ） 可得 () , 2)a 和 (1, a 上单调递增，在 ( 2,1)上单调递减， 所以，函数 () , 上的最大值为 m a x ( 2 ), ( )f f a ， 又由 （ ）可知 5 1 3( ) ( )23f a f， 所以 13m a x ( 2 ) , ( ) ( 2 )3f f a f ； 当 2, 1 ，即 01a时，由（ ）可得 () , 上单调递减， (), 上的最大值为 32( ) 2 132a a . 当 2 , 1 ，即 12a 时，由（ ）可得 () ,1)a 上单调递减，在 (1, a 上单调递增， 所以，函数 () , 上的最大值为 m a x ( ) , ( ) f a f a ， 法 1：因为 22( ) ( ) ( 6 ) 03f a f a a a ， 所以 32m a x ( ) , ( ) ( ) 2 132a f a f a a . 法 2：因为 21a ， 12a 所以由 （ ） 可知 19( ) ( 1 )6f a f ， 10( ) ( 2 )6f a f， 所以 ( ) ( )f a f a ， 所以 32m a x ( ) , ( ) ( ) 2 132a f a f a a . 法 3： 设 32( ) ( ) ( ) 43g x f x f x x x ，则 2( ) 2 4g x x ， ( ), ( )g x g x 的 在 1,2 上的 情况如下表： x 1 (1, 2) 2 ( 2,2) 2 ()+ 0 ()03 Z 极大 83 所以，当 02x 时， ( ) (0 ) 0g x g， 所以 ( ) ( ) ( ) 0g a f a f a ， 即 ( ) ( )f a f a 所以 m a x ( ) , ( ) ( )f a f a f a 32 2132aa a . ，可知： 当 522a时，函数 () , 上的最大值为 133； 当 02a 时，函数 ()区间 ,上的最大值为32( ) 2 132a a . 20.（本小题满分 14 分） 解： （ ） 由题意可得 2 31a ， 所以 2 4a ， 所以椭圆 C 的方程为 22143. （ ）由题意可设 ( 2 , ), ( 2 , )A m B n ， 因为11F， 所以110F，即 3 ( )因为11F， 所以当1等腰三角形时 ， 只能是11| | | |F，即 2219 ， 化简得 228 由 可得 3,1,或 3,1,所以121111| | | | 1 0 522 F B F . ( )直线 : ( 2 )4 y x m ， 化简得 ( ) 4 2 ( ) 0n