《标量场的基本定理》word版.doc

标量场的梯度1.方向导数：研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空间坐标的变化情况。标量函数在某点处的方向导数定义为：设有一个标量场（标量函数），从场中某点M位移到邻近的另一点时函数值从变为，则比值就是标量场函数在M点处的方向导数，如图所示：在上图中，设和是相差很小的两个等值面，且。M点位于等值面上，沿两个不同的路径位移到等值面上的P点和Q点。其中，与等值面的法线方向平行。很明显， ，所以，。若设方向的单位矢量为，且与之间夹角为，则有：2.定义矢量为等值面u在M点处的梯度。显然：等值面上M点处，沿任意方向的方向导数，式中是该点处u的梯度大小，或者说是M点处的最大值，的方向就是该点处u变化最快的方向；等值面上M点处，沿任意方向的方向导数，式中是该点处u的梯度大小，可以写成。所以，标量场u中某点处的梯度的“大小”就是在该点处沿各个方向的方向导数的最大值，而其“方向”与该点处等值面的法线方向平行，并指向函数u值增大的方向。3.梯度的计算公式：由可见，在直角坐标系中，注意到，而，可以设计一个矢量算符grad，使得不难看出，这个就是著名的哈密顿算符(Hamilton算符)，读做，它兼有矢量运算与微分运算的双重作用，常被称为矢量微分算符。今后，我们通常用表示u的梯度：上式是在直角坐标中的梯度公式，其它坐标系中的公式见教材中附录。例：证明（重要关系式）说明：1).；2).是观察点0到场点p的矢径；是源点到场点p的矢径； 3).当源点不变，场点p变化时，的梯度表示为；当场点不变源点变化时，的梯度表示为。为简便计，采用球坐标系，将坐标原点设在源点上，有：将坐标原点选在场点p上，有：注意到和方向相反，由上两式可得：矢量场的散度力线是矢量场的形象表述，比如电力线、磁力线。通量则是描述矢量场特性的一个重要概念。1.面元矢量一个面元由其大小和方向确定。关于面元方向的规定：1).对于开曲面，是这个开曲面上的一个面元。这个开曲面一定由一闭合曲线C围成。规定，与C满足右手关系时，0，反之0；2).对于闭曲面，与闭曲面外法线同向时为正，反之为负。2.通量如图所示，矢量场穿过面元的通量为，于是，矢量场穿过S的通量：若曲面为闭曲面，则：显然，对于闭曲面，上式表示穿过曲面的通量。当其值大于零时，表示有净通量穿出，说明闭曲面内有产生场的源；当其值小于零时，表示有净通量穿入曲面，说明闭曲面内有终结场线的漏。如果其值为零，表明闭曲面内源和漏的和为零，亦或什么都没有！3.散度穿过闭曲面的通量只说明了整个闭合面中源的情况，不能说明闭合面内每点的矢量性质，它没有反映面内源在每点处分布特性。为了研究一个点附近的通量，可以令闭曲面包围的体积趋于零，即矢量场在该点处的散度(divergence)：显然是一个标量，它表示从该点单位体积内穿出来的通量，或者叫做通量体密度，它反映了在该点处的通量源强度。很显然，它与沿空间坐标的变化有关。散度公式在直角坐标系中：散度定理(高斯公式)定理内容：上式表明，矢量场散度的体积分，等于矢量场对于包围这个体积的外表面的通量。证明从略。利用散度定理，可以方便地降低积分重数亦或升高之。例：计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的通量。解：在直角坐标系中。注意到对比：，显然：此外，由于矢量的散度反映了在该点的通量源强度，因此定义散度不为零的矢量场为有源场或者叫做有散场，而在各点处的散度均为零的矢量场为无源场或管形场：无源场有源场矢量场的旋度1.线元矢量与矢量的线积分矢量的线积分：式中，线元矢量，是与之间夹角。若积分路径C闭合，则有：上式称为矢量的环流。矢量的环流也是描述矢量场性质的重要参量，可以相似地说，如果矢量沿闭合曲线的一旦不为零，则此矢量场存在“涡旋源”。2.矢量场的旋度从分析矢量场的性质来看，除了要知道矢量场的环量（积分量）之外，更为重要的是还应知道在每个点附近的环流的情况。为此，把闭合路径C缩小，令其面积，取极限：定义其为矢量场的旋度(curl,rotation)，记为注意面元是矢量，其大小为，方向与C的循行方向成右手关系。可见：1).是个矢量；2).的方向就是就是当面元的取向，使环流密度最大时面元的方向；3).的大小是矢量在该点处的最大环量面密度；表示了在该点处的涡旋源强度。若某区域中各点处的等于零，则称为无旋场或保守场。3.旋度的运算：在直角坐标系中：在其它坐标系中，的旋度也用表示，具体公式见教材。4.斯托克斯定理矢量分析中有一个重要的定理：式中，S是C所包围的曲面面积，称为斯托克斯定理(Stokess Theorem)，证明从略。例：求，沿着XY平面上的一个闭合路径C的线积分。解：由于积分只是在XY平面内，故，如果应用斯托克斯定理，有：由，易得场函数的二阶微分运算梯度、散度和旋度运算都属于场函数的一阶微分运算，只要场函数是连续的，则这些一阶微分运算都是可以进行的。如果场函数具有连续一阶偏导数，则可以将上述一阶微分运算进行适当组合来进行二阶微分运算。以下几种二阶微分运算常见于电磁场问题。1.标量场的梯度之旋度恒等于零()容易在直角坐标系下证明此式。由于梯度和旋度的定义都隔层坐标系无关，所以该式是一个普遍结论。这一绪论的逆定理也是成立的，即：如果已知一矢量场的旋度为零，则该矢量场可以表示为一个标量场的梯度。正是根据这一定理，引出了静电场的电位函数。旋度为零的矢量场称为保守场，所以，任何标量场的梯度构成的矢量场都是保守场，而保守场都可以表示成一个标量场的梯度。2.矢量场的旋度的散度恒等于零()这一结论的逆命题也是成立的，即：如果已知一矢量场的散度恒为零，则它可以表示为另一矢量场的旋度。正是根据这一定理，我们将由恒定磁场的磁感应强度引出 “矢量磁位”的概念。由该等式可知，由任何矢量场的旋度所构成的新的矢量场都是管形场（无散场），而管形场都可以表示成一个矢量场函数的旋度。3.标量场函数的拉普拉斯运算，其定义为：式中，称为“标性拉普拉斯算符”(Laplacian)。由上可知，标量场的拉普拉斯运算的结果仍为标量函数。在直角坐标系中：4.矢量场函数的拉普拉斯运算，其定义为：显然，的运算结果依然为矢量。上述等式定义了在各种坐标系中的矢量场函数的拉普拉斯运算。请注意，与虽然写法相似，但它们所表达的真实数学运算却完全不同，一般情况下，的展开要比的展开复杂得多，唯一例外的是在直角坐标系中两者具有相同的运算形式，即：上式表明，可以分解成的三个分量的标性拉普拉斯运算；但是在其它坐标系中这一做法不能成立。例如：在圆柱坐标系中亥姆霍兹定理一个矢量场所有的性质，总是可以用它的散度和旋度来说明，这归结为所谓亥姆霍兹定理(helmholtzs Theorem)：在空间有限区域V内的任一个矢量场，都可以由它的散度、旋度以及边界条件唯一地确定，所谓边界条件，是批在包围体积V的闭合曲面S上，矢量场的切向或法向分量。根据该定理，可以得到如下结论：1如果产生矢量场的源(通量源或旋涡源)分布于有限空间，则在无限远处的矢量场必为零，因此该矢量场在整个空间的分布仅由其散度和旋度便可唯一地被确定。事实上在这种情况下边界条件是已知的，即无穷远处的场等于零。2.标量场u的保守性方式可以利用斯托克斯定理及得到证明，因为上式左边可化为。静电场中的标量电位是其例子。意义：沿闭合曲线的线积分恒等于零，或表述为：沿非闭合曲线从点移动到点的线积分不依赖于具体的路径形状，而等于与之差。所以我们常把标量场称为“位场”。3.无旋场：（例如 静电场）此时，沿任意闭合路径的线积分都为零：，且它对应着一个标量场u，即：，或者4.无散场：（例如稳恒磁场）此时，在任意闭合曲面上的面积分都为零：，且它对应着一个矢量位函数：.5.任意一个矢量场可表示成一个无旋场()和一个无散场()之和：对上式两边分别取散度和旋度，得：式中和代表矢量场的两种源：通量源（电荷）和旋涡源（电流）。由于矢量场的分布由源的分布决定（因果关系），因此当矢量的散度和旋度已知时（那就是该矢量场的两种源已知），那么该矢量场本身就唯一地被确定了。上述两方程给出了矢量场的基本方程的微分形式，它们适用于矢量场连续分布的区域；在矢量场不连续的地方，例如某些表面，则必须使用基本方程的积分形式，即从矢量穿过闭合曲面S的通量和矢量沿闭合曲线C的环流两方