数字信号处理课程设计-Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断.doc

燕山大学课 程 设 计 说 明 书题目：z变换-反变换求系统响应及稳定性判断学院（系）： 电气工程学院 年级专业： 07级仪表2班 学 号： 学生姓名： 指导教师： 教师职称： 燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）：电气工程学院 基层教学单位：自动化仪表系学 号学生姓名专业（班级）07级仪表2班设计题目z变换-反变换求系统响应及稳定性判断设计技术参数传递函数的分子系数a1，a2，a3和分母系数b1，b2，b3设计要求利用z变换-反变换的方法求取系统的响应，判定系统的稳定性设计三个离散线性定常系统（其中包括稳定的和不稳定的），并利用z变换和反变换的方法计算系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并通过极点判定系统的稳定性。工作量工作计划 7月5日：上午：讲课，总体安排，布置设计题目，借阅书籍； 下午：阅读文献 7月6日： 相关理论学习 方法设计； 7月7日15日：程序设计参考资料1. 林洪彬.谢平.王娜.信号处理原理及应用. 机械工业出版社，2009年2. 薛年喜 matlab在数字信号处理中的应用 清华大学出版社2003年3. 吴湘淇 肖煕 郝晓莉 信号 系统与信号处理的软硬件实现 电子工业出版社2002年 4. 周浩敏.王睿.测试信号处理技术. 北京航空航天大学出版社，2005年5. 指导教师签字基层教学单位主任签字说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。年 月 日 目 录第1章 摘要11引言1第2章 基本原理22.1 matlab及数字信号处理22.2 z变换与z反变换的概念与原理22.3系统的稳定性8第3章 程序实现及结果分析9学习心得13燕山大学数字信号处理课程设计报告第1章 摘要1.引言介绍了z变换及其逆变换的基本概念，论述了利用极点判断方法判定系统稳定性的原理和系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并用matlab具体实现了的程序。任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态,开始产生偏差.所谓稳定性,是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能.系统的稳定性是系统设计与运行的首要条件,只有稳定的系统才值得分析与研究,才有必要分析研究该系统的其他自动控制问题.在经典控制理论中,线性系统稳定的充分必要条件。利用极点判断系统的稳定性，该方法最有效，其计算相对复杂，而matlab又能利用其工具箱快速计算出一个系统的零极点坐标并能绘制出系统的零极点分布图，用户可以直观地判定一个系统是否稳定，简便快捷。利用matlab分析控制系统的稳定性及系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，具有运算简单、操作方便、处理速度快、分析结果准确可靠等优点。由此可见，matlab为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。 关键词matlab;控制系统;z变换及反变换；稳定性;极点；单位脉冲响应；单位阶跃响应 第2章 基本原理2.1 matlab及数字信号处理matlab是矩阵实验室之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用matlab来解算问题要比用c,fortran等语言完全相同的事情简捷得多.可以将自己编写的实用程序导入到matlab函数库中方便自在新的版本中也加入了对c,fortran,c+ ,java的支持. 可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到matlab函数库中方便自己以后调用。信号是数字信号处理领域中最基本、最重要的概念。简单的说，信号就是信息的载体，是信息的物理体现。信号既可以分为时间连续、幅度也连续的模拟信号和在时间和幅度上都经过量化的数字信号，也可以划分为连续时间信号和离散时间信号。几乎在科学技术的每一领域，为了，为了信号的提取，都要进行信号处理，就是一数值计算的方法对信号进行采集，变换，综合，估计，与识别的加工处理过程，借以达到提取信息和便于应用的目的。随着计算机和信息科学的飞速发展，信号处理已经逐渐发展为一门独立的学科，是信息科学的重要组成部分。在语音处理，雷达，航空，航天，地质勘探，通信，生物医学工程等众多领域得到了广泛应用。matlab软件，在数字信号处理方面具有得天独厚的优势。利用目录下的系统函数，用户可以实现波形的产生，信号的变换，滤波，功率谱估计，系统设计与稳定性分析，小波信号分析等众多功能。本文既是以数字信号处理的理论为基础，应用matlab软件用z变换与z反变换设计控制系统并分析稳定性的一个具体事例。2.2 z变换与z反变换的概念与原理2.2.1 z变换理论z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态性能及稳定性，可以用拉氏变换的方法来进行分析，与此类似，线性离散系统的性能，可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，z变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。（1） z变换的定义连续函数的拉氏变换式为 设的采样信号为 其拉氏变换为 （7-13）上式中是s的超越函数，不便于直接运算。因此引入一个新的复变量 将其代入到式（7-13），得到 （7-14）式（7-14）被定义为采样函数的z变换。它和式（7-13）是互为补充的两种变换形式。前者表示z平面上的函数关系，后者表示s平面上的函数关系。（2）对z变换还必须强调指出以下两点：1. 变量z是一个复变量,变量s在拉氏变换中也是一个复变量，可表示为 s=j于是 （7-15）其中 式（7-15）就是变量z以模和幅角形式表示的复变量。2. 在z变换过程中，由于考虑的仅是连续时间函数经采样后的离散时间函数，或者说仅是连续时间函数在采样时刻上的采样值，所以式（7-14）表达的仅是连续时间函数在采样时刻上的信息，而不反映采样时刻之间的信息，从这个意义上来说，连续时间函数与相应的离散时间函数具有相同的z变换，即 zz=f(z)（3） z变换的求法1. 级数求和法设连续时间函数为,对应的离散时间函数为,将展开如下 然后逐项进行拉氏变换，得到 或者 （7-16）上式就是离散时间函数进行z变换的一种级数表达形式。由这种表达形式可知，如果知道连续时间函数在各采样时刻nt（n=0,1,2,）上的采样值，便可根据式（7-16）求得其z变换的级数展开式，它是一个无穷项的级数。2. 部分分式法设连续函数为，其对应的拉氏变换为。为求拉氏反变换，可将写成部分分式之和的形式其中: n的极点数目；的极点；常系数。只要求出 及，就可以按下式求出所对应的z变换式： （7-20）综上所述，已知求时，既可以按下面的虚线箭头的步骤求取，又可以按实线箭头的步骤求。3留数法（围线积分法）在x(z)的收敛域内选择一逆时针围线c包围原点，然后，上式两边绕c积分。由留数定理：2.2.2 z反变换理论（1）z反变换的定义在离散系统中应用z变换，是为了把s的超越方程或者描述离散系统的差分方程转换为z的代数方程，然后写出离散系统的脉冲传递函数，再用z反变换法求出离散系统的时间响应。所谓z反变换，是已知z变换表达式，求相应离散序列的过程。记为 进行z反变换时，信号序列仍是单边的，即当n1对于因果系统仍然对可积条件判别，则同样要求收敛域包含单位圆。第3章 程序实现及结果分析1基本程序function y=mytest(num,den)h=tf(num,den,ts,0.5)zeros=roots(num);poles=roots(den);z,p,k=tf2zp(num,den);ii=find(abs(p)1);n1=length(ii);if(n10)disp(系统不稳定);disp(系统不稳定的极点是);disp(p(ii);elsedisp(系统是稳定的);endsubplot(2,2,1);zplane(num,den);title(系统的零极点分布图 );subplot(2,2,2);dstep(num,den);title(系统的阶跃响应图 );grid on;subplot(2,2,3);dimpulse(num,den);title(系统的脉冲响应图 );系统1处理结果num=1 1 1;den=1 0.5 -0.25;mytest(num,den)结果：transfer function: z2 + z + 1-z2 + 0.5 z - 0.25 sampling time: 0.5系统是稳定的结果分析：得到的零极点分布和单位脉冲响应，单位阶跃响应如上图。它的零点在单位圆上，而极点在单位圆的内部，可以保证系统是稳定的。由响应图知，系统在经过几次在平衡点周为震荡后逐渐趋向一个稳定的点即一个常数。系统2处理结果num=1 6 4 8 9 2;den=1 0 3 0 0 0;mytest(num,den)结果：transfer function:z5 + 6 z4 + 4 z3 + 8 z2 + 9 z + 2- z5 + 3 z3 sampling time: 0.5系统不稳定系统不稳定的极点是 0 + 1.7321i 0 - 1.7321i结果分析：得到的零极点分布和单位脉冲响应，单位阶跃响应如上图。它的零点既有在单位圆内的也有在单位圆外的，而极点同样也是，可见系统是不稳定的。由响应图知，系统在经过震荡以后趋向无穷。系统3处理结果num=1 -1 -4 4;den=1 1 2 1;mytest(num,den)结果：transfer function:z3 - z2 - 4 z + 4-z3 + z2 + 2 z + 1 sampling time: 0.5系统不稳定系统不稳定的极点是 -0.2151 + 1.3071i -0.2151 - 1.3071i结果分析：得到的零极点分布和单位脉冲响应，单位阶跃响应如上图。它的零点既有在单位圆内的也有在单位圆外的，而极点同样也是，可见系统是不稳定的。由响应图知，系统在经过震荡以后趋向无穷。实验总结：通过这次实验，对z变换的了解更进了一层。通过例题，知道离散系统的稳定性完全由h(z)的极点位置决定，零点只影响h(n)时域波形的幅度和相位。从变换域的角度看，离散lti集总参数系统的传递函数h(z)总能用两个有理多项式表示，因此其所有极点都位于单位圆内是保证它稳定的充要条件。系统的位置对系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应由特别明显的影响。（1） 在单位圆内的单极点和重极点：当n趋于无穷时，脉冲响应趋于0；（2） 在单位圆外的单极点和重极点：当n趋于无穷时，脉冲响应趋于无穷大；（3） 在单位上外的单极点：当n趋于无穷时，脉冲响应趋于常数和等幅震荡；（4） 在单位上外的重极点：当n趋于无穷时，脉冲响应趋于无穷大。学习心得matlab语言除了具有的强大数值计算和图形功能以外，还有其他语言难以比拟的功能，如其提供的应用于许多领域的工具箱。以外，matlab与其他语言的接口能保证它可以和各种强大的计算机软件相组合，发挥更大的作用。经过一个星期的编程操作，初步了解了matlab的概况和语言特征特点，掌握了matlab一些函数的初步用法，并会编写一些很基本的函数。matlab具有功能强大的编程语言和交互是计算机环境。matlab语言可以被认为是一种解释性语言，用户可以再matlab的命令空间中间如一个命令就可以直接进行数字运算，也可以应用matlab语言编写应用程序，运行程序及跟踪调试程序。matlab软件会对命令和程序的各条语句进行翻译，然后在matlab环境中对它进行处理，最终返回结果。本程序主要是多给定差分方程的系统进行z变换，然后求解系统的零极点，并画出系统的零件点分布图，并对系统的稳定性进性分析，并且画出系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应及对正弦输入信号的响应。此试验可以看作是matlab在控制系统的应用，matlab中含有极为丰富的专门用于控制系统分析与设计的函数，例如，复数运算，求解特征值，方程的根，矩阵求逆以及快速傅立叶变换等一些复杂的运算，在matlab中仅用一条函数便能实现。更为方便的是，matlab中的线性代数，矩阵计算和数值分析等功能为控制系统的分析和设计了可靠的基础和技术。matlab可以实现对线性系统的时域或频域分析。设计与建模，利用的就是工具箱中的各种算法，而这些算法大部分都是m文件，可以直接调用。matlab既可以处理连续的系统，也可以处理离散的系统。根据控制系统的描述方法不同，例如，系统是用传递函数来表达，还是用状态时间来表达，可以选择经典的或现代控制技术来处理。不仅如此，还可以利用matlab提供的函数来进行模型之间的转换。对于经典控制系统的分析中常用的一些分析方法，例如，时间响应，频率响应，根轨迹等能够很方便的+进行计算并能以图形的形式表达出来，当然，也能很方便的利用其他函进行极点配置，最优控制与估计等方面的现代分析设计方法。matlab是一个功能很强大的软件，尤其是在理工之类的应用是相当的广泛的，matlab几乎是理工之类学生必须掌握的操作软件，对数字分析和数据求解，绘图及模拟仿真上有很多的应用，所以进行matlab设计对于将来经一步的掌握和应用matlab有了很好的向导作用，通过自己的设计也掌握了一些基础的设计思路，怎样把现实中的模型进行抽象并输入进行分析，学习软件主要是掌握软件的一些语法和设计思路，并在基础的平台上进行不断的扩张，使自己设计的程序内容进一步丰富把要实现的功能一步的实现。这次试验只是matlab应用中的一个很小很基础的实验操作，matlab的功能是很强大的库函数也很多，所以现在所掌握的与matlab所提供的功能还