数学与应用数学本科毕业论文-分块矩阵的应用.doc

本 科 毕 业 论 文 题 目 分块矩阵的应用 院 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 评阅教师 班 级 2007级1班 姓 名 学 号 2011 年 5 月 16 日分块矩阵的应用数学与信息科学学院 数学与应用数学 胡凯，指导教师：曾玉祥目 录摘要abstract1引言12分块矩阵及其性质12.1分块矩阵12.2分块矩阵的性质及其推论12.3分块矩阵常见的分块方法33分块矩阵在证明方面的应用43.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用43.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用53.3分块矩阵在相似问题中的应用64分块矩阵在计算方面的应用74.1分块矩阵在行列式计算方面的应用74.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用94.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用114.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用12结束语13参考文献14致谢15内江师范学院本科毕业论文15摘 要：分块矩阵是线性代数中的一个重要工具，在理论研究和实践计算方面都有广泛的应用特别是在处理阶数较高的矩阵时，分块之后，可以使矩阵的结构更加清晰明朗，从而使一些矩阵的相关表达和计算简单化，进一步用来解决很多与矩阵相关的问题在分析和总结分块矩阵的概念和性质的基础上，提出了分块矩阵在计算和证明方面的应用，主要包括矩阵的秩、矩阵的相关性理论、相似问题、以及行列式的计算、逆矩阵的求解、以及矩阵方程等方面关键词：分块矩阵；矩阵分块；证明；计算abstract：the partitioned matrix is an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further simplification, with matrix related problems. in analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinants of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.keyword：the partitioned matrix; matrix block, proof; calculation 1 引言 在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值，它常见于许多学科中，如线性代数、线性规划、组合数学、统计分析等在实际生活中，很多问题都是借用矩阵抽象出来进行表述并加以解决的，比如一些电脑的应用如vlsi芯片设计上都有分块矩阵的思想矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，但对于矩阵的运算和应用，则有很多问题值得我们去研究，尤其是当矩阵的阶数比较大时矩阵的运算和证明将是一个很繁琐的过程，因此这时我们需要一个新的矩阵处理工具，在这种情况下，分块矩阵的思想就产生了在高等代数中，对高阶矩阵的处理是矩阵相关内容中重要的一部分，分块矩阵揭示了一个复杂或是特殊的矩阵的内部本质结构，本文即是通过查阅相关的文献资料和学习相关的知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，通过具体的实例的应用来突出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性2 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵定义1 用纵线与横线将矩阵划分成若干较小的矩阵：，其中每个小矩阵叫做矩阵的一个子矩阵；分成子块的矩阵叫做分块矩阵运算规则2在用规则(1)时，与的分块方法须完全相同；用规则(3)时的列的分法与的行的分法须相同2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式的计算中我们经常用到下列三条性质3（1） 若行列式中某行(列)有公因子，则可提到行列式号外面；（2） 把行列式的某两行(列)互换位置，其值变号，（3） 把行列式的某行(列)乘上某一个非零数，加到另一行(列)去，其值不变 利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1 设是由如下的分块矩阵组成，其中都是矩阵，又是任一阶方阵对于矩阵，则性质2 设和写成如下形式，其中都是矩阵，则.性质3 设是由如下的分块矩阵组成，其中都是矩阵，又是任一阶方阵对于矩阵，则推论1 设都是阶方阵，则有证明根据性质3并应用于列的情况，有，根据性质1有， 则推论2 设都是阶方阵，则有证明 作阶行列式，由拉普拉斯展开定理得：又根据性质3并应用于列的情况,有：，则推论3 设都是阶方阵，其中，并且，则有证明 根据性质3，由知存在，并由，用乘矩阵的第一行后加到第二行去得：，从而2.3分块矩阵常见的分块方法2矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，常见的分块方法有四种：(1)列向量分法 ，为的列向量.(2)行向量分法,为的行向量(3)分成两块其中分别为的若干列,或其中分别为若干行.(4)分成四块对分块矩阵还可以进行广义的初等变换,广义的初等变换分为三种:(1) 交换分块矩阵的两行(列)；(2) 用一可逆阵乘以分块矩阵的某一行（列）；(3) 用某一矩阵乘某一行（列）加到另一行（列）.根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵4：（1）；（2）均为可逆矩阵；（3）.3分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的相关的秩的相关证明中的应用定理12 分别为矩阵的秩，则例 设分别为阶矩阵，则.证明 构造分块矩阵，对进行广义初等变换，则,根据矩阵初等变换的性质有，而，所以利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一种是利用已知矩阵作为元素来拼成高阶数的矩阵来证明，另一种方法就是将已知矩阵拆成阶数较低的矩阵来证明这两种方法在证明问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题，都可以用分块矩阵来证明53.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用，但要达到运用自如却非易事，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们往往容易忽略它重要的一点-矩阵分块的作用下面就通过一些例子介绍一下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.定理22 矩阵列线性无关的充要重要条件是只有零解推论4 设，则（1）的列线性相关（即）的充要条件是存在使；（2）的行线性相关（即）的充要条件是存在使证明(1)充分性 设的列线性相关,由定理2，存在使，作，则，故必要性 设有，为的列向量，且，使，即，因，由定理2可知，的列线性无关类似可证(2)例2 矩阵列线性无关，求证：列线性无关的充要条件是列线性无关证明 充分性 要使，即，记，则因列无关，须，即，又列无关，须，从而列无关必要性 要使，两边左乘，则，即，又列无关，即，则列无关矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行（列）都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是一样，在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决例3 设，则（1），使得；（2），使得证明 ，使，(1)将与作如下的分块：，则（2）因，令，即得3.3分块矩阵在相似问题中的应用众所周知，若为阶矩阵，如果存在一个阶非奇异矩阵存在，使得成立，则称矩阵与相似但如果的阶较高，在证明的过程中找到一个阶非奇异矩阵变得非常困难，而分块矩阵通过证明矩阵中小矩阵的相似达到证明大矩阵相似的目的，为相似矩阵的证明提供了一种新的思路7例4 如果方阵，方阵，则.证明 因方阵,方阵，则而，4分块矩阵在计算方面的应用4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中，分块矩阵是一个重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，还可以利用分块矩阵来解决行列式的计算问题事实上，利用分块矩阵来计算行列式时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果本节将给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法定理32 设矩阵或其中均为方阵，则定理42 设分别为与阶方阵则：(1) 当可逆时，有；(2) 当可逆时，有推论5 设分别是矩阵，则（1）；（2）；（3）证明 只需要在定理4的（1）中令，即可证得；在(2)令，即可证得；在(3)中令，即可证得例5 求阶方阵的行列式解 令，则，又则可逆，由定理4（1）可知，而，由此可得例6 计算下列行列式（1）；（2）解 （1）设，其中，因为，所以是可逆矩阵，则，从而由定理4中的（2）得（2）设，其中由于，从推论5知行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，利用分块矩阵，求解行列式时应具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程，达到快速解决问题的目的4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用求分块矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对阶数较高的矩阵运算量比较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的作用定理58 设是一个四分块矩阵，其中为阶方阵，当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，且，特别地（1）当，与都可逆时，有；（2）当，与都可逆时，有；（3）当，与都可逆时，有定理68 设是一个四分块矩阵，其中为阶矩阵，为阶矩阵，当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，且，特别地（1）当，与都是可逆时，有；（2）当，与都是可逆时，有；（3）当，与都是可逆时，有例7 求矩阵的逆矩阵解 令，则原矩阵，由定理5中(3)知先求出矩阵的逆矩阵，从而得到，则注：在用分块矩阵求逆矩阵时，常常针对几种特殊的情形，对一般矩阵而言，此种方法并没有多大的实用价值！相比较而言，初等变换更具优势这启示我们要具体问题具体分析，培养求简的数学精神和实事求是的科学态度4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用设矩阵方程形如，其中分别为阶可逆矩阵，求我们容易知道解为：，对此我们需要先求得，再求得有时这样计算比较复杂，对此我们需要一个简便的方法9由于，同时取行列式可得，即，对此我们可以用分块矩阵的方法构建一个行列式，可得，其对应的矩阵为，经过广义的初等变换可得，即但此方法仍比较繁琐，对此我们需要对此进行简化，由初等变换我们知道矩阵中的第二行和第二列以及都对初等变换没有作用，可以说是多余的，去掉第二行和第二列，的位置用代替，这样我们得到了一个新的矩阵，在经过一系列初等变换得到，即：由此我们就可以通过构造分块矩阵然后通过初等变换求得例8 求解满足条件的解 构造分块矩阵得：，故4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用定理7 10 如果是一个阶非奇异矩阵，将进行分块，其中分别是矩阵，若是非奇异方阵，那么一定存在一个上三角分块矩阵，使得，其中，且是非奇异阵对于该结论用来解决个方程的非齐次线性议程组是比较方便的设非齐次线性方程组为，该方程组可写成矩阵方程其中为系数矩阵，若，则该方程组有唯一定解现将矩阵分块，并注意使，同时将及进行分块，令，行数等于行数，行数等于行数，则矩阵的方程可改成，两边同时左乘上三角分块矩，有，其中，且是非奇异阵从而得到矩阵方程组，解方程组可知例9 求解方程组解 将方程写成矩阵方程并进行分块，从而得到：，这里， 首先求出的逆矩阵，则，在方程两端同时乘以，从而得到，解矩阵方程可得，则所求方程组的解为结束语本文主要是对分块矩阵在计算和证明中的应用，通过概念的介绍以及实例的说明，让人对分块矩阵这一工具的实用价值有所认识和了解，它既是一种解题的方法又是一种技巧但它的应用并不仅仅是所举的几个方面，它还有更宽广的应用还有待于我们去深入的研究与探索参考文献1张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)m.北京:人民教育出版社,1995:199-208.2北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数m.北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.3林谨瑜.分块矩阵的若干性质及其应用j.广东广播电视大学学报,2006,(02):109-112.4王秀芳.分块矩阵的应用讨论j.连云港师范高等专科学校学报,2008,(09):97-99.5杨子胥.用分块矩阵证明秩的一些性质j.数学通报,1985,(03):74-76.6张锦来.分块矩阵及其应用j.湖州师范学院学报,2008,(02):116-118.7祁秋菊.分块矩阵的相关应用j.高校理科研究,2008,(03):26-27.8徐天保.分块矩阵的应用j.安庆师范学院学报,2010,(05):106-109.9刘红超.分块矩阵在两类矩阵问题中的应用j.株洲师范高等专科学校学报,2005,(10):37-41.10胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用j.河北工程技术高等专科学校学报,2004,(04):50-53.致谢在大学四年的学习过程中，我得到了数学与信息科学学院各位老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够顺利完成学业之余,自身综合能力也得到了很大的提高在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师曾玉祥老师，从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我进行指导.