数学与应用数学毕业论文-浅谈空间上的幂等算子.doc

07 数学与应用数学 毕业论文摘要 摘要 幂等算子在算子理论中是具有很多特殊性的一类算子，近年来，许多学者对其进 行了研究，并取得一些较好的成果。本文以空间中的幂等算子为主要研究对象。banach 首先，讨论了空间中幂等算子的线性组合的幂等性，并将空间中幂等算hilberthilbert 子一些结论推广到空间中的幂等算子；其次，在前人所作工作的基础上，进一banach 步讨论了空间中幂等算子的一些基本性质，给出空间中幂等算子的一banachbanach 些等价条件；最后，讨论了空间中幂等算子的谱；并以例题分析的形式说明了banach 幂等算子的应用。本文的讨论虽不够深入，但对泛函分析的进一步学习有积极意义。 关键词关键词：幂等元；幂等算子；空间；算子谱；banach 07 数学与应用数学 毕业论文摘要 abstract idempotent operator is a class operator with many special in operator theory, in recent years, many scholars have studied and achieved some good results .in this paper, the main object of study is idempotent operator ofspace. first of all, discussed the idempotent banach of linear combinations of the idempotent operator in space , and extended some hilbert conclusions of idempotent operator in space to space; secondly, further hilbertbanach discussed some basic properties of idempotent operator in space on the basis of banach previous work, and given some equivalent conditions; finally, we discuss the power spectrum of such operators ;and talk about the applications of idempotent operator in the form of examples. although this discussion is not deep enough, it has positive significance for further study of functional analysis. keywords: idempotent; idempotent operator; space; spectrum of operator;banach 07 数学与应用数学 毕业论文目录 目录目录 摘要 i abstract .ii 引言 1 一基本概念 1 二、hilbert空间上的幂等算子线性组合的幂等性4 三、banach空间上的幂等算子.10 （一）幂等算子的性质及定理10 （二）幂等算子的谱16 四、幂等算子的等价命题 .17 五、幂等算子的应用 .23 参考文献 .26 谢辞 .27 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 引言引言 幂等元是代数中的一个重要概念，也是研究代数结构的重要工具，如在研究线性 空间、拓扑空间等代数结构中常常见到幂等元的应用，幂等算子作为特殊的幂等元在 算子理论中是最基本的一类算子。借助于幂等算子有些问题会得到简化，算子谱投影、 谱分解等一系列理论都建立在幂等算子的基础上。近年来，研究幂等算子问题是一个 比较活跃的领域并得到了许多结果，本文仅将空间中的幂等算子一些结论推广hilbert 到空间，并在前人的基础上讨论了空间中幂等算子的一些基本性质及banachbanach 定理，且经过推理进一步得到一个算子成为幂等算子的充要条件及应用。 一一基本概念基本概念 定义 1.设是阶矩阵，若,则称为幂等矩阵；一般地，把满足（an 2 aaa k aa ）的矩阵叫做次幂等矩阵。1k ak 定义 2. 设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量,有一个确定的实xxx 数，记为与之对应，并且满足：x 1），且等价于；0x 0x 0x 2）其中为任意实（复）数；xx 3），xyxyxyx 则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。完备的赋范线性空间称xxxx 为空间。banach 定义 3. 设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，xyx 为到中的映射，如果对任何，及数，成立tyxy ()t xytxty， ()txatx， 则称为到中的线性算子。ty 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 定义 4. 设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间到中的线性xytx( )ty 算子，如果存在常数 ，使对所有，有c( )xt txc x， 则称是到中的有界线性算子，当=时，称为到中的有界线性算t( )ty( )txtxy 子，简称为有界算子。 定义 5. 设是空间上的有界线性算子。如果=,则称是pbanach( , . )x 2 ppp （x，）上的幂等算子。一般地，把满足（）的算子叫做次幂等算子。. k pp1k pk 定义 6. 设是复线性空间，如果对中任何两个向量,有一复数与xxxy, x y 之对应，并且满足下列条件： （1），且等价于，；,0x x,0x x0x xx （2），为复数；,xy zx zy z , , ,x y zx （3），,x yy x ,x yx 则称为与的内积，称为内积空间。若按范数完备，则称, x yxyxx,xx x 为空间。hilbert 定义 7. 设是空间到空间中的有界线性算子，存在唯一的，ahilbertxhilberty * a 使对任何及，成立xxyy * ,ax yx a y 则称算子为的伴随算子。 * aa 定义 8. 设是空间到空间中的有界线性算子，若，则ahilbertxhilbertx * aa 称算子为的自伴算子。ax 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 定义 9. 设是空间到空间中的自伴算子，如果，即ahilbertxhilbertx0a (, )0ax x ，xh 则称是正算子。a 定义 10. 设是空间，是的闭子空间， 可以唯一地表示成hhilbertlh,xh x 12 xxx 12 ,xl xl 称是在子空间上的正交投影，简称投影。利用投影，可以定义到上的映射 1 xxlxy 如下：对任一，令pxx pxy， 其中是在上的投影，称为到上的投影算子。yxypxy 对算子，如果它的范数1，则称为是压缩的，如果是的一个子()ab ha lh 空间，则表示的正交补。ll 定义 11. 设为空间上的有界线性算子，我们称=pbanach(, . )x( )n p .为的零空间，=为的值域。若是双射，这0pxxxp( )r p :,y ypx xxpp 时可以定义从到中的算子：( )r px 1 p yx ，当。ypx 称为的逆算子。 1 pp 定义 12. 如果两个幂等算子，满足，则称左垂直或右垂直。pq0pq pqqp 定义 13. 如果幂等算子左垂直并且也右垂直幂等算子，则称与垂直，记pqpq 为 p。q 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 定义 14. 对的子空间，若， 则称为的不变子空间。x( )aa 二、二、空间上的幂等算子线性组合的幂等性空间上的幂等算子线性组合的幂等性 hilbert 设是一无限维复可分的空间，表示上的所有有界线性算子。hhilbert()b hh 幂等算子的全体是相似不变的.即如果，并且是可逆的，则p()b hs()b h 仍是幂等的。 1 s ps 证明：由于，所以是幂等的。 1211121 ()s pss pss pss p ss ps 1 s ps 通过上面的论述可以看出，如果是一幂等算子，则一定存在一个可逆算子p ，使得是一个正交投影算子。在空间分解=的条件下，()ub h 1 upu h( )( )r pr p 具有如下的算子矩阵形式:p 1 00 ip p , 其中是从到的有界线性算子。注意到 1 p( )r p ( )r p 1 0 ip i =, 1 00 ip 1 0 ip i 0 00 i 取=，显然是可逆的，且 由此可以看出是一个u 1 0 ip i u 11 0 ip u i 1 upu 正交投影算子。 首先，我们引入以下引理。 引理 2.1 设是空间上的有界线性算子，则是正 1112 2122 aa a aa hilberthka 算 子的充分必要条件是是上的正算子，是上的正算子，且存在一个从到 11 ah 22 akk 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 上的压缩算子，使得=，即hd 12 a * 21 a 11 22 1122 ada 11 22 111122 11 * 22 221122 aada a ad aa (1) 引理 2.2 设是一个正算子，如果是算子的不变子空间，则是()ab ha 的约化子空间，也就是说，在空间分解下，具有如下的算子矩阵形式：ah a 1 2 0 0 a a a 其中 和是正算子。 1 a()b m 2 ()ab m 下面将主要讨论两个幂等算子的线性组合在什么条件下仍保持幂等性，不妨设 和是两个幂等算子。由于幂等算子的全体是相似不变的，故我们可以设和中pqpq 的一个为正交投影。例如，假设是一个正交投影，当然，是一个正算子。在这种qq 情况下，根据引理 2.1 可知，和关于空间分解具有如下的算子pq( )( )hr pr p 矩阵形式 1 00 ip p , (2) 11 22 111122 11 * 22 221122 qqdq q qd qq 其中和是正算子，是一个从到上的压缩算子。 11 ( ( )qb r p 22 ( ( ) )qb r p d( )r p ( )r p 定理 2.1 设,是上的两个不同的非零幂等算子，其中是正交投影，pq()b hq 如果，具有如（2）的算子矩阵形式，同时表示形如pq * p = (3) * p 12 pq 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 的线性组合形式，其中，都不为零，则是幂等的当且仅当下列四种情况之一成 1 2 * p 立。 2 12 12122 22 121122 22 11 1211 1 ( )1,()0; 00 ( )1,0; 0 0 ()1,1,; 0 0 ( )1,1,0. 00 ipq iiqpq q i iiiqppq q q ivqq p 其中和都不为零。 11 q 22 q 证明: 必要性 若是幂等的，则，计算得 * p 2 1212 ()pqpq 112212 (1)(1)()0pqpqqp (4) 右乘可得p 2121112 (1)(1)qpppqp (5) 下面分成两种情况进行讨论 情形 1 假设，则等式（4）可被简化为 12 1 11 (1)()0pqpqqp 由于和都不为零，于是,即为第种情况。 1 2 2 ()()0pqpqpqqp( ) i 情形 2 假设，则由等式（5）得 12 1 1 12 212 (1) (1) qppiqp 可以看出是算子的不变子空间。是一个正算子，由引理 2.2 可知，是算( )r pqq( )r p 子的约化子空间，因此在空间分解=的条件下，和具有如下的qh( )( )r pr p q * p 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 算子矩阵形式 11 22 0 0 q q q , (6) 12111 1* 222 0 iqp p q 这里的和分别是与上的正交投影。 11 q 22 q( )r p( )r p 考虑到 22 * 21121121111211112122 2 222 2() () 0 iqqiqppq p q 以及，则我们可以得出 * 2* ()pp 22 1121121111211112122 2 222 2() 0 iqqiqppq q = 12111 1 222 0 iqp q 比较上式两边并通过计算可得 2211111 211 112211 2222 (21)(1) , ()(1) , (1)0. qi q ppqp q (7) 假设0，由于0，则由如上条件的第三个等式可得=1.由此根据假设条 22 q 2 2 件0 以及（7）式中的第一个等式可以看出，因是正交投影，于是 1 1 11 1 2 qi 11 q 有=1 或=-1.如果=1，则=0，于是 1 1 1 11 q 22 00 0 q q 因此由（7）中第二个等式可得,为第种情况。 1221 pqp()iii 另一方面，假设=0，则（7）可以简化为如下形式 22 q 2211111 211 11 (21)(1) (1) qi q pp (8) 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 根据假设条件0 以及式子(8)中的第一个等式知，如果=0，则有 1 21 21 1 1，于是=1，因此，为第种情况，如果， 1 211 1 1,0q p ( )iv 21 210 则由假设及（8）中的第一个等式得 2 0 11 11 221 (1) (21) qi 注意到以及，故或，如果，则有 2 11111 ,0qq 12 1 1 1 12 0 1 1 ，于是=0 与非零矛盾，如果，则有=，由（8）中第二个等 11 0q qq 12 0 11 qi 式可得=0，即 1 p 0 00 i pq , 这与假设和不相同矛盾。pq 充分性：因若则有则，( ) i 2 ()0pq 12 1 12 1 = * p 12 pq 11 (1) pq 222 ()()()pqpq pqppqqpq即0ppqqpqpqqppq * 22222 1111111111 ()(1)(1)(1)(1)(1)ppqpqppqqpq 2222 1111111 2ppqpqqpqpqqq 2 111 ()()2ppqqpqpqqpqq 11 ()2pqqpqq 11 ()2pqqq 11 (1)pq=即是幂等的。 * p * p 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach ( )ii 若，则=，而 12 1 * ppq 1 00 ip p 22 00 0 q q 122 0pq = * 2 ()p 22 ()()pq pqppqqpqppqqpq 1122 22 00000 0000000 ippq pq q 1 22 0000 00000 ip qp q 所以=，即是幂等的。 * 2 ()ppq * p * p ()iii若，则=，其中， 12 1,1 * pqp 1 00 ip p 22 0 0 i q q 1122 ppq = * 2 ()p 222 ()()()qpqp qpqqppqpqqppqp 而= 11221 22 0 0000000 iipipqip pq q p 11 22 0 00000 iipip qp q =p 所以= 即是幂等的。 * 2 ()pqqppqpqp * p * p ( )iv 若，则其中， 12 1,1 * ppq 1 00 ip p 11 0 00 q q 11 1 ,0.q p = * 2 ()p 222 ()()()pqpq pqppqqpqppqqpq 11111 00 000000 ipqq pqq 11111 00 000000 qipq qpq 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 所以=，即是幂等的。证毕。 * 2 ()ppq * p * p 三、三、空间上的幂等算子空间上的幂等算子 banach 以下所论的幂等算子若无特别说明均指空间（，）上的幂等算子。banachx. （一）幂等算子的性质及定理（一）幂等算子的性质及定理 性质 1. 设为次幂等算子，则的任意正整数次幂也为次幂等算子。p) 1(kkpk 证明：设为任意正整数，由，则。m k pp()() mkkmm ppp 性质 2. 设是幂等算子，把投影到=上。ppxpx,x pxx xx 性质 3. 设是幂等算子，的零空间=。pp( )n pxpx xx 证明：=-=0,所以，则，则有p()xpxpxpxxpx( )n p( ),yn p 0py yypy 所以 ( )n p=xpx xx 性质 4. 设是幂等算子，或者。p0p 1p 证明：由算子范数的定义, =，所以sup(0,) px pxxx x pxx px ，当=0 时，1p x0p 性质 5. 设是幂等算子，。p,pxx xxxpx 证明：若，令=则，即,pxx xx 2 p xpxypxxpyyypx xpx 若 ，则存在 使xpxyx,xpy pxppypyx 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 性质 6. 设是幂等算子，若,则=0。p( )xpxn px 证明：若则且,因是幂等算子，则=,由( )xpxn pxpxx( )n pppxxx 知=0，所以有=0。( )n ppxx 性质 7. 设是幂等算子，对任意 ，存在 使, pxx 12 ,( )xpx xn p 12 xxx 且、 是唯一的。 1 x 2 x 定理 3.1：设,是幂等算子，若则pq,pxqx.pqqppq 证明：若则对任意的都有=,取=,有= =,pxqxxxpxqxxqpq qq 2 q , 取=,有 2 p=,而=,从而。qxppqppq qppq 充分性显然。 定理 3.2：若是幂等算子，如果是幂等算子，则=0。,p qpqpq 证明：若是幂等算子，即,而pq 2 ()()pqpq 2 ()()()pqpq pq 22 ppqqpqppqqpq 得，左乘得 0pqpqp0pqqpp 再右乘得 0pqppqpp 即再由知=0。0pqp 0pqpqppq 定理 3.3 设是幂等算子，若,则=0。,p q 2 ()pqpqpq qp 证明：由=得 2 ()pq()pq()pq=ppqqpqpq 0pqqp， 左乘得 0pqpqpp 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 再右乘得 0pqppqpp 即因所以=00pqp 0pqpqppq 下面证0qp 由=得0pqqp， 2 ()pq()pq()pq=ppqqpqpq 将式子两边左乘得 2 0qpqq p0pqqpq 即 0qpqqp 再右乘得 0qpqqpq,q 即，由式子知。0qpq 0qpqqp0qp 定理 3.4 设，是两个幂等算子，则下列条件之一是成为幂等算子的充分pqpq 条件1;pqqp）并且当上述条件之一成立时，2);3);4).pxqxqxpxpqxqx 有.pqxpxqx 证明：时 .pqpqpqppqqpq 2 ()1 pqqp） 下证当 1）成立时有.pqxpxqx 对有又因，所以从而，故xpqx，,xpxpqqpxqpx，xqx.xpxqx 反之，若则故.xpxqx,pqxpxx.xpqx 2）时，对任意的有即pxqxxxqpx px=qp p= 若则 2 ()=.pqpqpqp q pq 2 xpqx，xpxqx， 故反之，若则故.xpxqxxpxqx，,pqxx.xpqx 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 3)qxpx时，对任意的有，xxpqxqx 即 pqqpq 2 () 2= .pqpqpqpq 若有,从而,故反之，若xpqx，pqxqxxqx.xpxqxxpxqx， 则故,pqxx.xpqx pqxqx4）时，对任意的有，, 即 xxqpqxpqxqpqpq 即 2 =pqpqpq p q pq 2 () 若则故.反之，若则故xpqx，xpx，xpxqxxpxqx，,pqxx .xpqx 注：条件 2）加上可逆可使 1）成为必要条件。q 证明：时，对任意的有,即。对任意的,因,pxqxxxqpx px=qp p=xxp 为幂等算子，则有，即,所以有=。q 11 pqxpqqq xpqq xpx pq p=pq qp 定理 3.5 设,是两个幂等算子，则定理 3.4 中的条件 1） ，2） ，3）是与pqpq 同时成为幂等算子的充分条件。qp 证明：若因, 是两个幂等算子，则 222 ()pqpqpqp qpq即1;pqqp）pq 是幂等算子。pq 222 ()qpqpqpq pqp，所以也是幂等的。qp 2）当时，对任意的有， 即 pxqxxxqpxpxqpp 2 =.pqpqpqp q pq 2 ()即是幂等算子。pq 22 ()qpqpqpqpqp,即是幂等算子。qp 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 3)qxpx时，对任意的有，即xxpqx qx= pq qpq 2 =() 2= .pqpqpqpq 22 ()qpqpqpq pqp,即是幂等算子。qp 定理 3.6 设是幂等算子，且满足则 12n ppp， , 12 pxp x, n p x 12 pp也是幂等算子，并且= n p 12 pp n p n p 证明：根据定理 3.4 有，对任意的有，qxpxxxqpxpx 对有= ,即= 12 pxp x, n p x 12 pp n px n px 12 pp n p n p 定理 3.7 设，是一列幂等算子，并且满 12n ppp， , 足 则=也是幂等算子。 12 pxp x n p x n p 21 p p 1 p 证明与定理 3.6 类似。 定理 3.8 设，是一列幂等算子，并且满足 12n ppp， , 12 pxp x n p x ，则存在一个幂等算子。()0 n p x n plimp 证明：由定理 3.6 知是幂等的，所以令=即可。 1 p 1nn p p n limpp 1 p 1nn p p 定理 3.9 设是幂等算子，如果或是幂等算子，则也是幂等算,p qpqpqpq 子。 证明：如果是幂等算子，则pq 2 ()pqppqqpqpq2,pqqqp 由定理 2.5 知所以由因此所以pqqp，2pqqqppqq， 2= = pqqq pq 2 （）， 是幂等算子。pq 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 如果是幂等算子，由定理 2.5 知所以是幂等算子。pq0=0pqpqpq 2 ，（），pq 定理 3.10 若是幂等算子，且,则也是幂等的。,p qpq qp=pqpq 证明： 2 ()()(=pqpqpqpq pqpq） ppqpqqpqqpqpqppqpqpqpqpq 所以也是幂等的。pqpq 定理 3.11 若是幂等算子，则是幂等算子，且pip()= ( )ip x n p 证明：因是幂等算子是幂等算子，对任意p() =ipippp ipip 2 存在使()xip x，yx ， 2 =()= ()()0xip ypx p ip yppy， 即，即 ，xn p ()()( )ip xn p 关系 蕴涵了 x 是直和 ran(p)ran(i p)。 = + ()ipip 对任意有=0，即x,所以xn p ()px()ip x x px x= -=()ip x()ip xn p() 综上所述，有()ip xn p() 定理 3.12 设是幂等算子，则是上的幂,p qpq qp=,p q pq+ -px qx pxqx+- 等算子。 证明：因是幂等算子，有,p qpq qp=, () =()()p q pqp q pq p q pq 2 + -+ -+ - =p pq pq qp q qpq pqp pq pqpq p qp q qp qp qp qp p q pq+-+ -+= + -+= + - 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 即 .() =()p q pqp q pq 2 + -+ - 所以是上的幂等算子。p q pq+ -px qx pxqx+- （二）幂等算子的谱（二）幂等算子的谱 我们知道空间上的有界线性算子的谱是一个非空的有界闭集，banach（x, . ）pp（） 的连续谱为空集。p 定理 3.13 设是空间上的非零算子，则的谱半径pbanachppr()=1. 证明：由关于谱半径的定理知： 1/ =. n n plim pr() sup 而从而于是对任意自然数成立.又因为有界算子，故 2 ,pp= n pp，= n pp ，p 1/ 1/ =1 n n n plim plim pr() 定理 3.14 若是非零的空间上的幂等算子，且则的谱pbanachx1,pp0，p =0,1.p（） 证明：由定理 3.13 知下面分三种情况讨论：-1,1 ,px x（） .p（1）1（） 由知存在且，使，故不是一对一的算子，从而p 0xx0x 0px 1p.p1（） p（2）（），其中-1,1 1,0.x x 对任意若则又所以即xx)0pi x(，=pxx，=pp p，=px p xpxx 2 ， 但故又所以.由此可知于是是- )0,px x（0 ，= =px px，1 ，x=0( )0,n p pi 可逆的，从而p （） 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach .p（3）0（） 若不是一对一的，则；若是一对一的，且则也有；pp0（）ppxx,p0（） 若是一对一的，且则对任意,存在使,又因ppxx,yxxxpxy .由是一对一的，知，故与矛盾，这说明不可能是一对=p x px py 2 pxyp i= ,pip 一且到上。 综上有=0,1.p（） 定理 3.15 设与分别是非零的空间单位算子与零算子，则ipbanach =1=0.ip（），（） 结论 3.3.1 空间的幂等算子的本征值是 0 或 1。banachx 结论 3.3.2 若是幂等算子，则其中分别表示对应px 0 ,( ),px xn p 1 x 10 xx， 于本征值 1 与 0 的本征子空间。 结论 3.3.3 若是幂等算子，则px=0=0.pp（） 四、幂等算子的等价命题四、幂等算子的等价命题 定理 4.1 设,是两个幂等算子，则=0 pqpqqxn p(). 证明: 对任意存在使,xqxyxxqy 因=0 则,即,故pq0pxpqy( )xn pqxn p(). 若则对任意的 ,对,从而有,故qxn p()xxqxqxn p()0pqx 0pq 命题 4.1 ,是两个幂等算子，则左垂直。pqpq ( )qxn p 证明：若左垂直，则，所以。pq0pq 0pqx ( )qxn p 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 若,则对任意的 ,对,从而有,故( )qxn pxxqx ( )qxn p0pqx .0pq 定理 4.2 若,是两个幂等算子，则。pq( ),( )pqqxn p pxn q 证明： ,是两个幂等算子，且,所以，pqpq0pqqp 由此。( ),( )qxn p pxn q 若，则，所以。( ),( )qxn p pxn q0qppqpq 定理 4.3 设,是两个幂等算子，则+是幂等算子当+pqpq pqpq 是幂等算子时,().pq xpxqx 证明：， 22 p qp qppqqpqppqqpq 2 + =(+ ) 所以有 =0pqqp， 左右分别乘以得 pq pqppqp qp+=0，+=0，p 即再由得0pq ,从而;即。0pq qp -=0pqqp，0qp pq 由有,从而有pq0qppq 22 p qppqqpq 2 (+ )=ppqqpq.pq 所以也是幂等算子。pq 下证()=.pq x pxqx 对使 (),xpq xyx =() =+.xpq y py qypxqx 反之，对 12 ,xpxqxxpx xqx，使 12, x x x= + 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 从而，使 1122 =xpyxqy， 1 yx 2 ,yx 于是： 1212 () =()=()+pq xpqx xpqpyqy（+ ）（） 121212 =.pypqyqpyqyx xx+ 所以().xpq x 综上所述()=.pq x pxqx 定理 4.4 设,是两个幂等算子，则下列条件是等价的：pq | = .pxqxqp pqp p1）; 2)= ; 3) 证明：,对任意的有，即1）2），pxqxxxqpx px=qp p= 32），对有，使即xpxyx|=xpy qpx qx qpy py x px.= =,| = .qp p 3 ）1），对，所以,故.xpx= |=qx qpx px x，xqxpxqx 定理 4.5 若是两个幂等算子，则成为幂等算子且,p qpq pqqp 当是幂等算子时,qxpxpq()=.pq x pxqx 证明：是幂等算子，是幂等算子，且也是幂等算子，由定pqq()+ =pqq p 理 4.3 知：() =0()=pq qq pq；0. 从而有,由定理 4.4 知等价于,所以成为幂等pqqpqpqqqxpxpq 算子的必要条件是且pqqp.qxpx 由可得再由得由此便得：qxpx,pqqpqqp= ,pqqp q () =pq 2 ,ppqqpqpqqqpq 所以也是幂等算子.由于是幂等算子，由定理 4.3 有pq()+ =pqq p 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach ()=()+ipqip x qx， 而,故有 () =ipq x px=()+pxpq x qx， 即 ()=.pq x pxqx 定理 4.6 设是幂等算子，如果与同时是幂等算子,p qpqpq=0.q 证明：由定理 3.9 的证明知如果是幂等算子如果是幂等pqpqq，pq 算子知=0pq q 如果则 2 ()= =pqppqqpq p pq ，=0q 2 ( + )+= = +p qp pq qpq p p q 所以与同时是幂等算子.pqpq 定理 4.7 如果,是幂等算子，且满足，则是幂等的充pq0,1c(1)pq 要条件是 2 ()0pq 证明：必要性：如果是幂等的，那么(1)pq 2 (1)(1)pqpq 得 2 (1)(1)pqpq= 2 22 ()()2 ()pqqpqpq qq = 22 ()2(1 2 )pqpqq 22 ()()(1)pqpq 即 22 ()()pq=0 因为，所以.0,1c 2 ()0pq 充分性：从必要性的证明中可以得到 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 2 (1)pq 22 ()()(1)pqpq 如果，那么 2 (1)pq= 2 ()0pq(1)pq 因此是幂等的。(1)pq 引理 4.1 设,是幂等算子，则是幂等的。pqpq pqpq 证明：若是幂等的，则通过直接计算得,因pq 2 ()()pqpq2qpqqp 此可以得到和,即和，所以可以2qppqpqp2pqpqpqpqppqppqpqp 得到=。由=2,即.pq qp2qpqqppqpqppqpq 若，则pqpq 2 ()pq= +=,()pq()pqp pq qpq()ppqppqppqppq 即。 2 ()()pqpq 引理 4.2 设是幂等算子，则是幂等的,p qpq0pqqp 证明：若是幂等的，有,因此=0，pq 2 ()pqpqpqqppqpqqp 有0,0pqpqppqpqp，可得。0pqqp 若，则，即是幂等的。0pqqp 2 ()pqpqpqqppqpq 定理 4.8 如果两个非零的幂等算子和的差是自伴的，则对于 1 p 2 p 12 pp 有是幂等的充要条件是下列论述之一是成立的： 12 ,a ac 1 122 a pa p （1）如果，则； 12 1aa 1221 0ppp p （2）如果和，则； 1 a1 2 1a 12221 pppp p （3）如果和，则； 1 a 1 2 1a 12121 pppp p 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach （4）如果和，则。 12 1aa 12 ,0,1a a 12 pp 证明：（1）如果，那么，因此根据引理 4.2 可以得到 12 1aa 1 12212 a pa ppp 是幂等的当且仅当。 12 pp 1221 0ppp p （2）如果和，那么=，因此根据引理 4.1 可以得到 1 a1 2 1a 1 122 a pa p 12 pp 是幂等的当且仅当，又因为，所以。 12 pp 1212 pp pp 1211221 pp pppp p 12221 pppp p （3）如果和，那么=，因此根据根据引理 4.1 可以得 1 a 1 2 1a 1 122 a pa p 21 pp 到是幂等的，当且仅当，又因为，所以 21 pp 2121 p ppp 2122112 p ppp ppp 。 12121 pppp p （4）如果和，那么=，因此根据定 12 1aa 12 ,0,1a a 1 122 a pa p 1 112 (1)a pa p 理 4.7 可得 1 112 (1)a pa p是幂等的，当且仅当。因为是自伴的，所 2 12 ()0pp 12 pp 以=0，因此 12 pp。 12 pp 定理 4.9 设, 是幂等算子，则与有相同的零空间, 。pqpq pqpqpq 证明：任意的 ，有=0，乘以后得=0，又因为x( )n p 2 pxp xq 2 qpxqp x qpq 即得，即,即，同理可证 0qxqpxqxqx( )xn q( )n p( )n q( )n q ，即 ( )n q =( )n p( )n p 若=对中的任意，构造，因( )n q( )n pxyypy 2 ()0p ypypyp ypypy 所以，又因为所以( )( )ypyn qn p()0q ypyqyqpyqyqpy 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach 由的任意性，故有，同理可证yqpqpqp 定理 4.10 设,是幂等算子，则与有相同的值域=,=。pqpq pq q qpp 证明：,有，得，同理可得( )xr p ()pxqpxq px( )( )r pr q ，故与有相同的值域。( )( )r pr qpq 若，任取,有，故存在，使得，( )( )r pr qxxqxqxpxyxqxpy 于是 2 pqxp ypyqx，由的任意性知=，同理可证=xpq qqpp 五、幂等算子的应用五、幂等算子的应用 banach空间上的幂等算子的性质及运算，可应用于线性代数中有关幂等变换的一 类问题，及在逆算子、投影算子与拓扑空间上的应用，以下例子足以说明这一点。 例 1 设是线性空间的两个线性变换，且则有ts，v 112 ,(0)(0),ss sttt 2 .tst 例 2 设为线性空间的线性变换，且有,则：tv 2 tt - =a- a a;ttv 1 （1）（0） - t 1 （2）（0）及对的线性变换不变tvvsts st=； （3）的特征值只能是 1 或 0；t （4）若用与分别表示对应于特征值 1 与 0 的特征子空间，则v1 0 v 1 0 ,(0);vtv vt 1 只有特征值 0t（5）=0.t 例 3 如果都是幂等算子，证明：,p q （1）是可逆算子，当且仅当和都是可逆算子；,p q,p qipq 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子banach （2）是可逆算子，当且仅当和是可逆的。pqqppqipq 证明：（1）从()pq()ipq()ppqqqpqpqqp 及()ipq()pqpqppqqpqpqqp 中可以得到和都是可逆的，当且仅当是可逆的。pqipqpqqp （2）从()pq()ipq()pppqqqpqpqqp 和()ipq()pq()pqppqqpqpqqp 中可以得到和都是可逆的充要条件是是可逆的。p q+ipqpqqp 例 4 为投影算子的充要条件是：（1）是自伴算子， （2）是幂等算子。ppp 证明：必要性：，设，那么，xh 1212 ,xxx xl xl 2 1121 (, )( ,)( ,) ll p x xx xxxx p x 即是自伴算子。p 1 , l p xxl故所以= ，即是幂等算子。 2 111 ,(). llll p xxl p xp xxp x 2 l p l pp 充分性：令,下证等于到上的投影算子，即证明，为此，先()lp hphl l pp 证明是的闭子空间。事实上，即有()()0ip yip pxlh(),yn ip ypx 所以，故。反之，()yn ip()()p hn ip (),yn ip 有，所以，故，()0ip y()ypyp h()()p hn ip 于是。()()p hn ip 所以，是的闭子空间()p hh 07 数学与应用数学 浅谈空间上的幂等算子